Valeur spectrale

Imaginez une transformation qui étire ou combine des vecteurs. On lui soustrait successivement un nombre, comme si l’on réglait un bouton. Pour la plupart des réglages, l’opération obtenue peut être défaite sans ambiguïté. À certaines valeurs, elle ne le peut plus : ces nombres sont les valeurs spectrales.

Dans une matrice carrée complexe, ces valeurs sont exactement les valeurs propres. Sur un espace de dimension infinie, l’échec peut aussi venir d’un autre obstacle que l’existence d’un vecteur propre.

Soit un espace de Banach complexe X, c’est-à-dire un espace vectoriel normé complet, et un opérateur linéaire borné A de X dans lui-même. La lettre I désigne l’opérateur identité. Le spectre de A, noté σ(A), réunit les scalaires complexes λ pour lesquels A − λI n’a pas d’inverse linéaire borné défini sur tout X. Chacun de ces scalaires est une valeur spectrale de A.

Avec la décomposition usuelle, le spectre ponctuel contient les λ pour lesquels A − λI n’est pas injectif : ce sont les valeurs propres. Dans le spectre continu, A − λI est injectif et son image est dense, mais il n’est pas surjectif. Dans le spectre résiduel, il est injectif mais son image n’est pas dense. Ces trois cas décrivent donc différentes raisons pour lesquelles l’inversion échoue.

Le rayon spectral, noté ρ(A), mesure jusqu’où le spectre s’étend depuis zéro dans le plan complexe. Il est défini par $\rho (A)=\sup \{\mid \lambda \mid :\lambda \in \sigma (A)\}\backslash rho(A)=\backslash sup\backslash \{\backslash lvert\backslash lambda\backslash rvert:\backslash lambda\backslash in\backslash sigma(A)\backslash \}$. Dans le cadre complexe précédent, le spectre d’un opérateur borné est compact ; ce supremum est donc atteint.

Considérons l’opérateur de ℂ² représenté par une matrice triangulaire A. Les données sont les coefficients diagonaux 2 et 3, le coefficient supérieur 1 et le coefficient inférieur 0 :

1. On soustrait le scalaire complexe λ à chaque coefficient diagonal :

2. Une matrice carrée est inversible exactement lorsque son déterminant est non nul. Ici, $\det (A-\lambda I)=(2-\lambda )(3-\lambda )\backslash det(A-\backslash lambda\; I)=(2-\backslash lambda)(3-\backslash lambda)$.

3. Le produit s’annule pour λ = 2 ou λ = 3. Le spectre est donc {2, 3}. En dimension finie complexe, ces deux valeurs spectrales sont aussi des valeurs propres.

4. Leurs modules sont 2 et 3 ; le rayon spectral vaut donc 3. Le contrôle est direct : pour λ = 0, le déterminant vaut 6 et A est inversible, tandis qu’il vaut 0 pour chacune des deux valeurs trouvées. Dans le plan complexe, les deux points du spectre sont sur l’axe réel et le plus éloigné de zéro est 3.

Pour une matrice de petite taille, on cherche les valeurs spectrales en annulant le déterminant de A − λI. Si la matrice est triangulaire, il suffit de lire ses coefficients diagonaux : cette voie évite un calcul développé inutile.

Pour décider si une équation de la forme (A − λI)x = y possède une solution unique pour tout second membre y, on regarde si λ est hors du spectre. Si λ appartient au spectre, il faut examiner l’injectivité, la surjectivité et la densité de l’image au lieu de chercher un inverse inexistant.

Pour comparer l’amplitude globale de plusieurs spectres, on emploie le rayon spectral. Si l’on doit connaître chaque obstruction séparément, le seul rayon ne suffit pas : il faut conserver l’ensemble des valeurs spectrales.

Valeur spectrale et valeur propre. Une valeur propre rend A − λI non injectif, tandis qu’une valeur spectrale signale plus largement sa non-inversibilité. Pour la matrice complexe de l’exemple, les deux notions donnent 2 et 3. Sur un espace de Banach de dimension infinie, une valeur peut être spectrale sans être propre.

Spectre et rayon spectral. Le spectre est un ensemble de scalaires ; le rayon spectral est un seul nombre, le supremum de leurs modules. Dans l’exemple, le spectre est {2, 3}, alors que le rayon spectral vaut 3. Deux opérateurs peuvent donc avoir le même rayon sans avoir le même spectre.

Dimension infinie. Le symptôme trompeur consiste à ne trouver aucun noyau non nul et à conclure que λ est hors du spectre. Il faut encore vérifier que A − λI est surjectif et que son inverse est borné ; l’injectivité seule ne garantit pas l’inversibilité.

Corps des scalaires. La présentation standard du spectre d’un opérateur borné utilise un espace de Banach complexe. Sur un espace réel, le spectre réel peut se comporter autrement et même être vide. Pour appliquer les propriétés usuelles sans ambiguïté, on précise le corps ou l’on passe au complexifié de l’espace et de l’opérateur.

Décomposition du spectre. Les appellations « continu » et « résiduel » dépendent de conventions dans l’illustration et sur l’inverse. Avant de classer une valeur, il faut annoncer la convention retenue ; ici, le cas continu a une image dense non surjective, et le cas résiduel une image non dense.

Rayon nul. Un rayon spectral égal à 0 n’oblige pas l’opérateur à être nul. Il indique seulement que toutes ses valeurs spectrales sont à distance nulle de l’origine ; il faut étudier l’opérateur lui-même avant de conclure à son annulation.

La fiche valeur propre approfondit le cas où A − λI possède un noyau non nul et relie ce critère aux vecteurs propres.

La fiche Rayon spectral développe le nombre qui retient le plus grand module du spectre et en précise l’interprétation.

La fiche espace de Banach présente le cadre complet dans lequel un opérateur borné et son spectre sont étudiés.