AnalyseNotion · Glossaire
Rayon spectral
Le rayon spectral d'une matrice est le plus grand module parmi toutes ses valeurs propres ; pour un opérateur linéaire borné, c'est la borne supérieure des modules des éléments de son spectre. Pour une matrice A, il est noté rho(A) et vaut max |lambda_i| où les lambda_i sont les valeurs propres. Le rayon spectral est toujours inférieur ou égal à toute norme matricielle de A. La formule de Gelfand établit que rho(A) = lim ||A^n||^(1/n), reliant le rayon spectral au comportement asymptotique des puissances de la matrice. Il joue un rôle clé dans l'étude de la convergence des méthodes itératives.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir ρ(A) à partir du module des valeurs propres.
- Calculer le rayon spectral d'une matrice triangulaire.
- Interpréter le seuil ρ(A) < 1 pour les puissances et les méthodes itératives.
- Distinguer rayon spectral, norme spectrale et plus grande valeur propre.
En clair
Imaginez qu'une même transformation soit appliquée encore et encore à deux composantes d'un vecteur. L'une est multipliée par 0,6 à chaque tour, l'autre par 0,3. La première décroît moins vite et finit par dicter le rythme général.
Le rayon spectral repère précisément ce facteur dominant : il retient la plus grande distance à zéro parmi les valeurs propres. S'il est strictement inférieur à 1, les puissances de la matrice finissent par s'effacer.
Définition
Soit A une matrice carrée complexe, ou une matrice réelle considérée après complexification. Une valeur propre de A est un nombre λ pour lequel il existe un vecteur non nul v tel que Av = λv. Le rayon spectral de A, noté ρ(A), est le maximum des modules de ses valeurs propres : . Le module mesure ici la distance de λ à zéro, y compris lorsque λ est négative ou complexe.
Pour un opérateur linéaire borné T, la définition générale porte sur son spectre, c'est-à-dire l'ensemble des nombres λ pour lesquels T − λI n'est pas inversible. Le rayon spectral est alors la borne supérieure des modules des éléments du spectre. En dimension finie complexe, ou après complexification dans le cas réel, le spectre d'une matrice est exactement l'ensemble de ses valeurs propres, donc le maximum existe.
Toute norme matricielle subordonnée, et plus généralement toute norme compatible avec le produit utilisée dans la formule de Gelfand, majore ρ(A). Cette formule relie le spectre aux puissances successives : . Elle explique pourquoi le seuil ρ(A) < 1 caractérise la convergence de An vers la matrice nulle.
Un exemple, pas à pas
Données. On considère la matrice triangulaire . Ses deux coefficients diagonaux sont 0,6 et 0,3. On étudie les puissances An lorsque l'entier n augmente.
1. Comme A est triangulaire, ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux : λ1 = 0,6 et λ2 = 0,3.
2. Leurs modules valent respectivement 0,6 et 0,3, car ces deux nombres sont positifs.
3. Le maximum des deux modules est 0,6. Ainsi, .
4. Après cinq puissances, les deux facteurs propres valent 0,65 = 0,07776 et 0,35 = 0,00243. Le premier reste dominant, mais tous deux tendent vers zéro.
Contrôle. Le rayon spectral est strictement inférieur à 1 ; An doit donc tendre vers la matrice nulle. Le tracé des deux suites |λ1|n et |λ2|n rend visibles cette décroissance et la domination durable du facteur 0,6.
En pratique
Dans une méthode itérative stationnaire, l'erreur est multipliée à chaque étape par une même matrice A. On calcule ou estime ρ(A) : si ρ(A) < 1, l'erreur tend vers zéro pour toute erreur initiale ; si ρ(A) ≥ 1, cette convergence globale n'est plus garantie, même si certaines erreurs initiales particulières peuvent encore tendre vers zéro.
Pour anticiper le comportement des puissances d'une matrice, on compare son rayon spectral à 1. Un rayon inférieur à 1 annonce l'extinction de An, tandis qu'un rayon supérieur à 1 révèle au moins une direction propre amplifiée.
Lorsque les valeurs propres sont coûteuses à déterminer, une norme matricielle donne une majoration exploitable. Si cette norme est déjà inférieure à 1, elle suffit à conclure que ρ(A) < 1 ; sinon, la majoration seule ne tranche pas et un calcul spectral plus précis devient nécessaire.
À ne pas confondre
Rayon spectral et norme spectrale. Le premier dépend des modules des valeurs propres ; la seconde dépend des valeurs singulières. Pour une matrice non normale, ces deux nombres peuvent différer : le test consiste donc à ne pas remplacer un calcul de valeurs propres par celui de la plus grande valeur singulière.
Plus grande valeur propre et plus grand module. Le rayon spectral ignore le signe et l'argument complexe. Pour la matrice diagonale de coefficients −2 et 1, la plus grande valeur propre réelle est 1, mais le rayon spectral vaut 2 à cause du module de −2.
Limites et pièges
Au seuil ρ(A) = 1. Le rayon spectral seul ne garantit pas la convergence de An. Une valeur propre égale à 1 peut maintenir une composante, et une valeur propre égale à −1 peut la faire osciller. Il faut alors examiner les valeurs propres concernées et la structure de la matrice.
Une majoration n'est pas une égalité. Une norme de A supérieure à 1 n'implique pas que ρ(A) soit supérieur à 1. Elle ne permet simplement plus de conclure par ce critère ; il faut calculer les valeurs propres ou obtenir une estimation plus fine.
En dimension infinie. Le spectre d'un opérateur borné peut contenir des nombres qui ne sont pas des valeurs propres. Il faut prendre la borne supérieure des modules de tout le spectre, et non chercher seulement un plus grand module parmi les vecteurs propres.
Décroissance asymptotique et premiers pas. Même lorsque ρ(A) < 1, certaines matrices non normales peuvent d'abord amplifier des vecteurs avant que leurs puissances ne décroissent. Il faut observer les premières itérations en plus du verdict asymptotique.
Pour aller plus loin
valeur propre — Pour revoir les nombres dont les modules déterminent le rayon spectral d'une matrice.
norme — Pour comprendre la mesure qui majore le rayon spectral et intervient dans la formule de Gelfand.
Itérative (méthode) — Pour replacer le critère ρ(A) < 1 dans une procédure fondée sur des approximations successives.
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