Résolvante

Prenons une machine linéaire et décalons son réglage d'une valeur λ. Pour certaines valeurs, chaque sortie permet de retrouver une unique entrée sans amplification incontrôlée. L'opération qui effectue ce retour est l'opérateur résolvant.

Certaines valeurs bloquent ce retour : la machine décalée perd alors son inverse. Ces valeurs forment le spectre. La résolvante décrit donc le comportement de l'inverse partout où celui-ci existe convenablement.

Soit A un opérateur linéaire borné agissant sur un espace de Banach, c'est-à-dire un espace vectoriel normé complet. La lettre I désigne l'opérateur identité et λ un scalaire. L'ensemble résolvant de A, noté ρ(A), rassemble les valeurs de λ pour lesquelles A − λI est bijectif et possède un inverse borné. Pour une telle valeur, l'opérateur résolvant est défini par :

Le complémentaire de ρ(A) dans le corps des scalaires est le spectre de A, noté σ(A). En dimension finie, la condition « inverse borné » est automatique dès que l'inverse existe : le spectre d'une matrice est alors l'ensemble de ses valeurs propres. En dimension infinie, la bornitude de l'inverse fait partie de la définition et le spectre peut contenir des valeurs qui ne sont pas des valeurs propres. Lorsque les scalaires sont complexes, la fonction qui associe R(λ, A) à λ est analytique sur ρ(A), tandis que le spectre en est le complémentaire ; lorsqu'un point du spectre est isolé, il constitue une singularité isolée de cette fonction. Pour deux valeurs λ et μ de l'ensemble résolvant, l'équation résolvante s'écrit, avec la convention A − λI : $R(\lambda ,A)-R(\mu ,A)=(\lambda -\mu )R(\lambda ,A)R(\mu ,A)R(\backslash lambda,A)-R(\backslash mu,A)=(\backslash lambda-\backslash mu)R(\backslash lambda,A)R(\backslash mu,A)$. Une autre convention fréquente définit l'inverse de λI − A ; elle change le signe du résolvant et la forme signée de l'identité.

Considérons un opérateur de matrice A. Nous cherchons son ensemble résolvant, puis l'effet de R(0, A) sur le vecteur de sortie y de coordonnées (5, 6). Les données sont la matrice A, le paramètre λ et le vecteur y.

1. Le déterminant de la matrice décalée vaut $\det (A-\lambda I)=(2-\lambda )(3-\lambda )\backslash det(A-\backslash lambda\; I)=(2-\backslash lambda)(3-\backslash lambda)$. Il s'annule exactement pour λ = 2 et λ = 3. L'ensemble résolvant est donc formé de tous les scalaires autres que 2 et 3.

2. La valeur λ = 0 appartient à cet ensemble. L'opérateur résolvant en 0 est l'inverse de A :

3. En appliquant cette matrice à y, on obtient le vecteur d'entrée x :

4. Le contrôle consiste à repartir de x. Le produit redonne exactement y :

En revanche, pour λ = 2 ou λ = 3, le déterminant nul interdit ce calcul inverse. Dans le plan complexe, le domaine du résolvant occupe donc tout le plan sauf ces deux points.

Pour résoudre un système linéaire décalé, on choisit λ puis on cherche l'inverse de A − λI. Si le déterminant est non nul en dimension finie, le résolvant donne directement l'unique solution. Si le déterminant s'annule, il faut étudier le noyau et la compatibilité du système plutôt que chercher cet inverse.

Dans l'étude d'un système différentiel linéaire, la matrice résolvante renseigne sur l'effet du paramètre spectral. Près d'une valeur du spectre, l'inversion devient impossible à la valeur même et peut devenir très sensible à proximité. Pour calculer directement l'évolution temporelle, l'exponentielle de matrice est l'outil adapté.

Pour repérer le spectre d'une petite matrice, le polynôme caractéristique est souvent le chemin le plus court. Le résolvant devient préférable lorsqu'on veut aussi savoir comment une donnée y est transformée pour différentes valeurs de λ, et pas seulement localiser les valeurs propres.

Ensemble résolvant et opérateur résolvant. Le premier est un ensemble de scalaires, ρ(A) ; le second est l'inverse R(λ, A) défini pour chacune de ces valeurs. Dans l'exemple, 0 appartient à ρ(A), tandis que R(0, A) est une matrice.

Résolvante et spectre. Ces domaines sont complémentaires. Pour la matrice de l'exemple, 2 et 3 appartiennent au spectre, alors que 0 appartient à l'ensemble résolvant. Tester l'inversibilité de A − λI tranche donc sans ambiguïté.

Spectre et valeurs propres. Ils coïncident pour une matrice complexe de dimension finie. Sur un espace de Banach de dimension infinie, un scalaire peut appartenir au spectre sans posséder de vecteur propre non nul ; l'échec peut venir de la surjectivité ou de la bornitude de l'inverse.

Un inverse algébrique ne suffit pas toujours. Sur un espace de Banach de dimension infinie, il faut vérifier que l'inverse de A − λI est borné. Un inverse non borné ne place pas λ dans l'ensemble résolvant.

Le cas λ = 0 dépend de A. L'égalité R(0, A) = A⁻¹ n'a de sens que si A est lui-même bijectif avec inverse borné. Dans l'exemple, elle est valide car det(A) = 6 ; elle échouerait pour une matrice singulière.

La convention de signe doit être lue. Cette fiche emploie A − λI. Un texte qui emploie λI − A définit l'opérateur opposé. Avant d'utiliser une équation résolvante, il faut donc vérifier l'ordre des deux termes.

Une grande norme ne prouve pas à elle seule que λ est spectral. Elle signale une inversion sensible, mais peut se produire alors que λ reste hors du spectre. Le verdict exact reste l'existence d'un inverse borné de A − λI.

Le glossaire Spectre précise la structure de l'ensemble complémentaire du domaine de la résolvante.

La fiche valeur propre montre comment reconnaître les valeurs spectrales d'une matrice en dimension finie.