série de Engel

Prenons le nombre 5/7. On cherche d'abord le plus petit entier qui n'est pas inférieur à son inverse : c'est 2. Ce choix fournit le premier morceau, 1/2, puis laisse un nouveau nombre à traiter.

En répétant le même geste sur chaque reste, on obtient les entiers 2, 3, 4 et 7. Ils fabriquent les fractions 1/2, 1/6, 1/24 et 1/168, dont la somme vaut exactement 5/7. La série de Engel transforme ainsi un nombre positif en une suite d'entiers et en une somme de fractions de plus en plus petites.

Soit y un réel strictement positif. On note ⌈x⌉ le plus petit entier supérieur ou égal au réel x. En partant du reste initial u₀ = y, l'algorithme choisit, tant que le reste u_n n'est pas nul, l'entier suivant b_n+1 et le nouveau reste u_n+1 par la relation :

Les entiers b_n sont positifs et ne décroissent pas. En notant B_n le produit b₁b₂…b_n, le développement de Engel s'écrit : $y={\sum }_{n\ge 1}\frac{1}{B_n}y=\backslash sum\_\{n\backslash geq\; 1\}\backslash frac\{1\}\{B\_n\}$. Si un reste devient nul, la somme s'arrête ; sinon, elle est infinie et converge vers y. À chaque rang n, l'écart après la somme des n premiers termes vaut exactement u_n/B_n. L'algorithme fixe donc une représentation unique du réel positif considéré.

Un développement de Engel assemble cinq éléments. Le réel positif y est la donnée de départ. Les restes u_n mesurent ce qu'il reste à coder. La partie entière supérieure transforme chaque reste non nul en un entier b_n+1. Les produits cumulés B_n = b₁…b_n fournissent enfin les dénominateurs des termes 1/B_n.

Chaque entier dépend donc du reste précédent, et chaque terme de la série dépend de tous les entiers déjà obtenus. Le nouveau reste relance à son tour le calcul. Ces relations suffisent à construire la suite, à former les sommes partielles et à connaître exactement l'erreur restante.

Développons y = 5/7. Le schéma récapitule les quatre choix d'entiers, les restes successifs et les fractions ajoutées.

Données.
Nombre de départ : y = 5/7.
Reste initial : u₀ = 5/7.
Règle : on prend la partie entière supérieure de l'inverse du reste.

Étape 1. Comme ⌈7/5⌉ = 2, on obtient b₁ = 2, puis u₁ = 2 × 5/7 − 1 = 3/7. Le premier terme est 1/2.

Étape 2. Comme ⌈7/3⌉ = 3, on obtient b₂ = 3, puis u₂ = 3 × 3/7 − 1 = 2/7. Le deuxième terme est 1/(2 × 3) = 1/6.

Étape 3. Les deux itérations suivantes donnent b₃ = ⌈7/2⌉ = 4 et u₃ = 1/7, puis b₄ = 7 et u₄ = 0. Les termes ajoutés sont 1/24 et 1/168.

Résultat et contrôle. Le reste nul arrête l'algorithme. La somme commune vaut $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{168}=\frac{120}{168}=\frac{5}{7}\backslash frac12+\backslash frac16+\backslash frac1\{24\}+\backslash frac1\{168\}=\backslash frac\{120\}\{168\}=\backslash frac57$. Le calcul retrouve exactement le nombre de départ.

Pour décomposer une fraction positive, on conserve les restes sous forme de fractions exactes et on applique la partie entière supérieure à chaque inverse. Cette voie est préférable au calcul décimal lorsque l'on veut savoir avec certitude si le développement s'arrête.

Pour approcher un réel, on additionne les premiers termes. Après le rang n, la quantité u_n/B_n donne l'erreur exacte tant que le reste est connu ; elle indique directement si la précision visée est atteinte.

Pour vérifier une suite d'entiers annoncée, on refait les restes successifs et on contrôle à chaque ligne l'opération de plafond. Une simple somme numérique approchée peut masquer un mauvais entier ; le contrôle des restes localise aussitôt la première erreur.

Série de Engel et fraction continue. La première est une somme de fractions dont les dénominateurs sont des produits cumulés. La seconde emboîte des quotients. Pour 5/7, l'écriture 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/168 signale un développement de Engel, pas une fraction continue.

Entiers b_n et termes de la série. Les entiers 2, 3, 4 et 7 ne sont pas les fractions que l'on additionne. Ils produisent les dénominateurs cumulés 2, 6, 24 et 168.

Partie entière supérieure et partie entière inférieure. Pour l'inverse 7/5, le plafond vaut 2 alors que le plancher vaut 1. Choisir 1 dès la première étape ne suit donc pas l'algorithme de Engel.

Zéro n'est pas une donnée de départ admise. Son inverse n'existe pas, donc le premier entier b₁ ne peut pas être calculé. Le domaine annoncé est celui des réels strictement positifs.

Un reste nul marque l'arrêt. Dans l'exemple, u₄ = 0. Il ne faut pas chercher b₅ en prenant l'inverse de zéro ; la représentation est alors la somme finie des quatre termes obtenus.

Les entiers ne commencent pas toujours à 2. Si y est supérieur à 1, alors ⌈1/y⌉ = 1. Il est donc faux d'imposer b_n ≥ 2 à tous les rangs pour tout réel positif ; on applique la règle sans ajouter cette restriction.

Une somme partielle n'est pas encore y tant que le reste est positif. Après n termes, l'écart vaut u_n/B_n. Il faut conserver ce reste ou annoncer une approximation, au lieu d'écrire une égalité prématurée.

La fiche Fraction continue présente l'autre grande représentation par entiers à laquelle la définition de la série de Engel fait référence. Elle aide à comparer une somme de produits inverses avec un emboîtement de quotients.

L'article Les fractions continues, prolonge cette comparaison dans un traitement consacré aux fractions continues et à leur mode de développement.