ArithmétiqueNotion · Glossaire
produit de Cauchy de deux séries
Soient ∑aₙ et ∑bₙ deux séries de nombres complexes. Le produit de Cauchy (ou produit de convolution) de ces deux séries est la série ∑cₙ dont le terme général est défini par la somme de convolution : cₙ = a₀bₙ + a₁bₙ₋₁ + ... + aₙb₀. Lorsque les deux séries ∑aₙ et ∑bₙ convergent absolument, leur produit de Cauchy ∑cₙ converge également absolument, et l'on a : . Le théorème de Mertens (dit aussi théorème de Cauchy-Mertens) établit un résultat plus général : il suffit qu'une seule des deux séries converge absolument et que l'autre converge simplement pour que leur produit de Cauchy converge et que la relation précédente reste valide. La notion de produit de Cauchy se généralise naturellement aux séries entières, permettant de multiplier deux développements en série entière.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire le coefficient de rang n par une somme de convolution.
- Calculer les premiers coefficients du produit de deux séries géométriques.
- Relier la somme du produit à 2 × 2 = 4 sous des hypothèses vérifiées.
- Distinguer produit de Cauchy, produit terme à terme et composition de séries entières.
- Reconnaître pourquoi deux convergences conditionnelles ne suffisent pas en général.
En clair
Prenons deux listes identiques : 1, 1/2, 1/4, 1/8, … Pour fabriquer le troisième terme de leur produit, on rassemble tous les couples placés sur la même diagonale : 1 × 1/4, 1/2 × 1/2 et 1/4 × 1. Leur somme vaut 3/4.
Le produit de Cauchy répète ce geste à chaque rang. Il ne multiplie donc pas seulement deux termes de même position : il additionne tous les produits dont les indices donnent ensemble le rang recherché.
Définition
On considère deux séries de nombres complexes, de termes respectifs an et bn, indexés par les entiers n à partir de 0. Leur produit de Cauchy, aussi appelé produit de convolution, est la série de terme cn obtenu en additionnant tous les produits akbn−k dont les indices totalisent n : .
Si les deux séries convergent absolument, la série des cn converge elle aussi absolument. Sa somme est alors le produit des deux sommes : . Le théorème de Mertens donne une hypothèse plus large : une convergence absolue pour l'une des séries et une convergence simple pour l'autre suffisent à conserver la convergence du produit et cette égalité.
Pour deux séries entières, la même convolution fournit le coefficient de chaque puissance dans leur produit. Le coefficient de degré n rassemble exactement les produits de coefficients dont les degrés ont pour somme n.
Un exemple, pas à pas
Données. Pour tout entier n positif ou nul, on pose an = 1/2n et bn = 1/2n. Les deux séries sont donc 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …, et chacune a pour somme 2.
1. Au rang 0, un seul produit intervient : c0 = a0b0 = 1.
2. Au rang 1, on additionne deux produits : c1 = 1 × 1/2 + 1/2 × 1 = 1.
3. Au rang 2, trois produits donnent c2 = 1 × 1/4 + 1/2 × 1/2 + 1/4 × 1 = 3/4. Regrouper les produits par indice total rend visible la règle générale.
4. Au rang n, les n + 1 produits valent tous 1/2n. On obtient donc .
Le contrôle porte sur la somme : la série des cn vaut 4, ce qui coïncide avec le produit 2 × 2 des deux sommes initiales.
En pratique
Pour multiplier deux séries entières, on fixe d'abord le degré recherché, puis on additionne les produits de coefficients dont les degrés totalisent ce nombre. Si les expressions sont des polynômes finis, la distributivité ordinaire suffit ; la convolution en est l'organisation coefficient par coefficient.
Pour calculer les premiers termes d'un produit, on forme successivement les diagonales d'indices. Dans l'exemple, les rangs 0, 1 et 2 donnent 1, 1 et 3/4. Une multiplication terme à terme donnerait 1, 1/4 et 1/16 : cet écart révèle immédiatement le mauvais geste.
Pour multiplier les sommes de deux séries convergentes, on vérifie les hypothèses avant d'utiliser l'identité. Si l'une converge absolument, le théorème de Mertens autorise l'autre à converger seulement simplement. Si aucune ne converge absolument, il faut étudier directement la série obtenue.
À ne pas confondre
Avec le produit terme à terme. Celui-ci associe seulement an à bn, tandis que le produit de Cauchy additionne tous les akbn−k. Pour les suites 1, 1/2, 1/4, …, le terme de rang 2 vaut 1/16 dans le premier cas et 3/4 dans le second.
Avec la composition de séries entières. Le produit combine les degrés par addition : les indices k et n − k donnent le degré n. Une composition remplace au contraire la variable d'une série par une autre expression. Chercher le coefficient d'un produit appelle la convolution ; substituer une série à la variable appelle la composition.
Limites et pièges
Deux convergences conditionnelles. Elles ne suffisent pas en général. Pour an = bn = (−1)n/√(n + 1), les deux séries convergent, mais la valeur absolue de cn reste supérieure ou égale à 2(n + 1)/(n + 2). Le terme cn ne tend donc pas vers 0, et la série produit diverge. Il faut étudier le produit directement ou disposer d'une convergence absolue.
Une série initiale divergente. La formule sur le produit des sommes ne s'applique pas si l'une des deux sommes n'existe pas. Le calcul des coefficients cn reste possible, mais il ne justifie aucune égalité entre sommes infinies.
Une troncature prise pour le produit complet. Calculer c0, c1 et c2 ne détermine que le début de la série. Pour obtenir une somme ou un coefficient plus lointain, il faut poursuivre la convolution et contrôler la convergence.
Pour aller plus loin
convolution — Replacez la somme des produits d'indices complémentaires dans le cadre plus général de la convolution.
convergence absolue — Précisez l'hypothèse qui garantit la stabilité du produit de Cauchy et autorise le théorème de Mertens.
série entière — Voyez comment les coefficients d'un produit se construisent degré par degré avec la même convolution.
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