AnalyseObjet mathématique · Glossaire
Commutativement convergente (série)
Une série est dite commutativement convergente (ou inconditionnellement convergente) si elle reste convergente pour toute permutation de ses termes. En dimension finie, le théorème de Riemann affirme qu'une série est inconditionnellement convergente si et seulement si elle est absolument convergente. Dans un espace de Banach de dimension infinie, l'équivalence est moins évidente : une série est inconditionnellement convergente si toutes ses sous-séries convergent, mais cela n'implique pas nécessairement la convergence absolue.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir la convergence commutative par toutes les permutations des termes.
- Vérifier un exemple numérique grâce à la convergence absolue.
- Distinguer le cas de dimension finie de celui d'un espace de Banach de dimension infinie.
En clair
Imaginez une infinité de nombres à additionner. On peut prendre les termes dans leur ordre d'origine, ou les mélanger avant de former les sommes successives. Une série est commutativement convergente lorsque chaque réorganisation conduit encore à une limite, et toujours à la même.
Cette stabilité signifie que la convergence ne dépend pas d'un équilibre fragile entre termes positifs et négatifs. Pour des nombres réels ou complexes, elle revient exactement à pouvoir additionner les valeurs absolues des termes.
Définition
Soit une série dont le terme de rang n est noté , à valeurs dans un espace normé complet. Elle est commutativement convergente, ou inconditionnellement convergente, si toute permutation des indices conserve la convergence. Si la lettre grecque sigma désigne une bijection des entiers naturels, la condition s'écrit :
La limite est donc indépendante de l'ordre. Dans un espace de dimension finie, notamment pour des nombres réels ou complexes, cette propriété équivaut à la convergence absolue : la série des normes des termes converge. Dans un espace de Banach de dimension infinie, l'inconditionnelle convergence équivaut aussi à la convergence de toute sous-série, mais elle n'entraîne pas toujours la convergence de la série des normes. La complétude de l'espace est nécessaire pour que les critères de Cauchy aboutissent à une limite dans cet espace.
De quoi c'est fait
Quatre éléments structurent la notion. Les termes sont les objets additionnés. Leurs indices fixent un ordre initial, tandis qu'une permutation réordonne tous ces indices sans omission ni répétition. Enfin, les sommes partielles additionnent les premiers termes du nouvel ordre et doivent tendre vers une limite.
La permutation agit sur les indices, donc sur le trajet suivi par les sommes partielles. La propriété exige pourtant que ce trajet converge vers la même somme. La taille, le signe ou la direction de chaque terme influencent la convergence ; la manière de les écrire ou de les représenter ne définit pas la série. Ces données suffisent à tester un réarrangement donné, mais la commutative convergence porte sur toutes les permutations.
Un exemple, pas à pas
Considérons les termes de rang n au moins égal à 1 définis par . Les quatre premiers sont 1/2, −1/4, 1/8 et −1/16. La somme attendue est 1/3.
1. Additionnons les valeurs absolues : .
2. Cette série géométrique converge ; la série initiale est donc absolument convergente.
3. Sur les quatre termes annoncés, l'ordre initial donne les sommes 0, 1/2, 1/4, 3/8, 5/16.
4. L'ordre −1/4, 1/2, −1/16, 1/8 donne 0, −1/4, 1/4, 3/16, 5/16.
2. Cette série géométrique converge ; la série initiale est donc absolument convergente.
3. Sur les quatre termes annoncés, l'ordre initial donne les sommes 0, 1/2, 1/4, 3/8, 5/16.
4. L'ordre −1/4, 1/2, −1/16, 1/8 donne 0, −1/4, 1/4, 3/16, 5/16.
Les chemins intermédiaires diffèrent, mais les quatre termes ont le même sous-total exact, 5/16. Pour la série infinie, le critère de convergence absolue garantit davantage : toute permutation converge vers 1/3. Le contrôle consiste à refaire la somme géométrique des valeurs absolues, dont le premier terme et la raison valent 1/2.
En pratique
Pour une série numérique, on cherche d'abord si la série des valeurs absolues converge. Si oui, les termes peuvent être regroupés ou réordonnés sans changer la somme. Ce critère est souvent plus direct que l'étude de toutes les permutations.
Lorsqu'une série de nombres converge mais que la série des valeurs absolues diverge, on conserve l'ordre imposé. Un réarrangement peut alors modifier la limite ou détruire la convergence ; le critère observable est précisément l'échec de la convergence absolue.
Pour une série de vecteurs dans un espace de Banach, on peut plutôt étudier toutes les sous-séries ou employer le critère de Cauchy inconditionnel. La simple somme des normes serait trop exigeante en dimension infinie.
À ne pas confondre
Convergence simple d'une série. Elle concerne l'ordre donné des termes. Une série réelle semi-convergente fournit le cas qui tranche : elle converge dans cet ordre, mais certains réarrangements ont une autre limite ou divergent.
Convergence absolue. Elle demande la convergence de la série des normes. Les deux notions coïncident en dimension finie, mais pas dans tous les espaces de Banach de dimension infinie ; vérifier la somme des normes y distingue donc une propriété plus forte.
Limites et pièges
Tester quelques permutations ne suffit pas. Même si plusieurs ordres donnent le même résultat numérique, la définition porte sur toutes les bijections des indices. Il faut appliquer un critère général, comme la convergence absolue en dimension finie.
Une permutation n'est ni une suppression ni une répétition. Si un terme disparaît ou revient deux fois, on n'étudie plus un réarrangement de la même série. Il faut vérifier que chaque indice apparaît exactement une fois.
La dimension infinie change le critère. Dans l'espace des suites de carré sommable, notons en le vecteur qui vaut 1 à l'indice n et 0 ailleurs. La série des vecteurs en/n converge inconditionnellement, car toute queue a un carré de norme égal à une sous-somme de la série des 1/n2. Pourtant, la somme de ses normes est la série harmonique et diverge. Il faut donc employer un critère propre aux séries vectorielles.
Pour aller plus loin
La convergence absolue donne le critère équivalent pour les séries numériques et, plus généralement, en dimension finie.
L'espace de Banach précise le cadre complet où les séries vectorielles convergent et où la dimension infinie sépare les deux notions.
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