AnalyseNotion · Glossaire
convergence absolue
Une série ∑ uₙ à termes réels ou complexes est dite absolument convergente si la série des valeurs absolues (ou modules) ∑ |uₙ| converge. La convergence absolue implique la convergence de la série, mais la réciproque est fausse : une série peut converger sans converger absolument, on parle alors de convergence semi-convergente. La convergence absolue possède des propriétés remarquables : une série absolument convergente peut être réordonnée sans modifier sa somme (théorème de réarrangement), ce qui n'est pas le cas des séries semi-convergentes. Pour les séries de fonctions, la convergence absolue en chaque point se distingue de la convergence normale, qui est une propriété uniforme plus forte.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir la convergence absolue par la série des valeurs absolues ou des modules.
- Vérifier le critère sur une série géométrique alternée et recalculer ses deux sommes.
- Distinguer convergence simple, semi-convergence et convergence normale.
- Savoir quand un réarrangement conserve la somme.
En clair
Imaginez une suite de gains et de pertes de plus en plus petits : +1/2, −1/4, +1/8, −1/16… Les signes peuvent provoquer des compensations. Pour tester la convergence absolue, on oublie provisoirement ces signes et on additionne les tailles 1/2, 1/4, 1/8, 1/16… Si ce nouveau total reste fini, la série de départ converge elle aussi. Ce contrôle est particulièrement robuste : même en changeant l'ordre des termes, la somme finale ne change pas.
Définition
Considérons une série dont le terme de rang n est le nombre réel ou complexe un. Elle est absolument convergente lorsque la série formée par les valeurs absolues, dans le cas réel, ou par les modules, dans le cas complexe, converge. Le critère s'écrit : .
Cette condition entraîne la convergence de la série initiale . La réciproque est fausse : si la série des un converge alors que celle des |un| diverge, la convergence est dite semi-convergente. Une série absolument convergente peut être réordonnée sans que sa somme change.
Pour une série de fonctions, on peut appliquer ce test séparément à chaque valeur de la variable. Cette convergence absolue point par point ne doit pas être assimilée à la convergence normale : cette dernière impose un contrôle uniforme plus fort sur tout un ensemble.
Un exemple, pas à pas
Étudions la série alternée qui commence par +1/2, −1/4, +1/8, −1/16…
Données : le rang n commence à 1 ; le terme est ; sa valeur absolue est 1/2n.
Données : le rang n commence à 1 ; le terme est ; sa valeur absolue est 1/2n.
1. Retirons les signes : la série des valeurs absolues est géométrique, de premier terme 1/2 et de raison 1/2.
2. Le total des valeurs absolues vaut 1, donc la série de départ converge absolument.
3. Gardons maintenant les signes. La série est géométrique de raison −1/2, donc sa somme vaut .
4. Le contrôle est refaisable : les six premières sommes signées sont 1/2, 1/4, 3/8, 5/16, 11/32 et 21/64 ; elles encadrent progressivement 1/3. Les sommes des modules montent, elles, vers 1.
En pratique
Devant une série à signes variables, on examine d'abord la série des valeurs absolues. Si un critère usuel prouve sa convergence, la série initiale converge sans qu'il soit nécessaire d'étudier les compensations entre signes.
Pour une série géométrique, comme celle de l'exemple, le module de la raison donne un test immédiat. Si ce module est strictement inférieur à 1, la série des modules converge. À défaut, il faut choisir un autre critère adapté aux termes.
Si la série converge mais que le test sur les valeurs absolues échoue, on ne conclut pas à la divergence. On étudie alors les signes et les compensations afin de décider si la série est semi-convergente.
À ne pas confondre
Convergence absolue et convergence ordinaire. La première exige la convergence de ∑ |un| ; la seconde demande seulement une limite finie aux sommes partielles de ∑ un. Une série harmonique alternée tranche : elle converge, mais pas absolument.
Convergence absolue et semi-convergence. Dans les deux cas, ∑ un converge. Le test décisif porte sur ∑ |un| : sa convergence donne l'absolue convergence ; sa divergence donne la semi-convergence.
Convergence absolue point par point et convergence normale. Pour une série de fonctions, le premier test peut réussir séparément en chaque point. La convergence normale exige un majorant sommable valable uniformément sur l'ensemble étudié.
Limites et pièges
Échec du test absolu. Si ∑ |un| diverge, le symptôme ne suffit pas à classer ∑ un. Il faut reprendre l'étude avec les signes : la série peut diverger ou converger par compensation.
Cas charnière géométrique. Pour une raison de module strictement inférieur à 1, la série géométrique converge absolument. Si son premier terme est non nul, dès que le module de la raison vaut 1 ou davantage, elle n'est plus absolument convergente.
Réarrangement mal appliqué. L'invariance de la somme sous toute permutation repose sur la convergence absolue. Pour une série semi-convergente réelle, changer l'ordre peut modifier la somme ou détruire la convergence ; il faut donc conserver l'ordre ou justifier le réarrangement.
Séries de fonctions. Constater la convergence absolue pour chaque valeur de la variable ne donne pas automatiquement un contrôle uniforme. Il faut vérifier séparément les hypothèses d'un critère de convergence normale.
Pour aller plus loin
convergence d'une série numérique — Pour replacer le critère absolu parmi les conditions générales de convergence d'une série.
semi-convergence d'une série numérique — Pour approfondir le cas où les signes assurent une convergence que les valeurs absolues ne donnent pas.
convergence normale — Pour étudier le contrôle uniforme plus fort utilisé avec les séries de fonctions.
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