convergence normale

Imaginez une pile de courbes dont chacune est enfermée, sur tout l'ensemble étudié, sous une hauteur fixe. Si la somme de toutes ces hauteurs reste finie, la série de fonctions converge normalement.

Le contrôle est global : une même majoration vaut en chaque point. Pour les fonctions f_n(x) = (x/2)ⁿ sur [0, 1], la hauteur maximale est 2⁻ⁿ, et ces hauteurs ont pour somme 1.

Considérons une série de fonctions ∑ f_n, réelles ou complexes, toutes définies sur un même ensemble X. Elle converge normalement sur X lorsqu'on peut associer à chaque indice n un réel u_n ≥ 0 qui majore la valeur absolue de f_n(x) pour tout point x de X, tandis que la série numérique ∑ u_n converge.

En notant ‖f_n‖_∞,X le supremum de |f_n(x)| sur X, le critère s'écrit : ${\sum }_n\parallel f_n{\parallel }_{\mathrm{\infty },X}<+\mathrm{\infty }\backslash sum\_\{n\}\; \backslash lVert\; f\_n\; \backslash rVert\_\{\backslash infty,X\}\; \backslash lt\; +\backslash infty$. Cette formulation est équivalente à l'existence d'une majorante sommable (u_n). Le supremum peut être fini sans être atteint par la fonction.

Ce contrôle implique la convergence uniforme des sommes partielles, donc leur convergence simple. Si les fonctions sont intégrables dans un cadre où l'intégration est continue pour la norme uniforme, on peut aussi échanger somme et intégrale. La dérivation terme à terme demande des hypothèses supplémentaires, par exemple le contrôle uniforme d'une série de dérivées et la convergence en un point.

Données. Sur X = [0, 1], considérons f_n(x) = (x/2)ⁿ pour chaque entier n ≥ 1. Nous cherchons une borne indépendante de x, puis nous vérifions que la série de ces bornes converge.

1. Puisque 0 ≤ x ≤ 1, on a |f_n(x)| = (x/2)ⁿ ≤ 2⁻ⁿ.
2. Choisissons donc u_n = 2⁻ⁿ.
3. La série géométrique des majorantes vérifie ${\sum }_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{2}^{-n}=1\backslash sum\_\{n=1\}^\{+\backslash infty\}\; 2^\{-n\}=1$.
4. La série ∑ f_n converge donc normalement sur [0, 1].

Le contrôle peut être refait après n'importe quel rang N ≥ 1 : ${\sup }_{x\in [0,1]}\mid {\sum }_{n=N+1}^{+\mathrm{\infty }}{f}_n(x)\mid \le {\sum }_{n=N+1}^{+\mathrm{\infty }}{2}^{-n}=2^{-N}\backslash sup\_\{x\backslash in[0,1]\}\backslash left|\backslash sum\_\{n=N+1\}^\{+\backslash infty\}\; f\_n(x)\backslash right|\; \backslash le\; \backslash sum\_\{n=N+1\}^\{+\backslash infty\}2^\{-n\}=2^\{-N\}$. Par exemple, après N = 4, l'erreur uniforme est au plus 1/16.

Ici, le contrôle est même exact au point x = 1 : chaque fonction atteint la borne 2⁻ⁿ. Ce cas confirme que la majoration ne dépend pas d'un point choisi après coup.

Pour établir rapidement la convergence d'une série de fonctions, on cherche une borne qui ne dépend plus de x. Une comparaison avec une série géométrique ou une série de Riemann convergente est souvent plus directe qu'une étude des sommes partielles.

Pour justifier une interversion entre somme et intégrale, le critère normal fournit un contrôle uniforme utile. Il faut encore vérifier que les fonctions sont intégrables et que le cadre d'intégration autorise le passage à la limite.

Si aucune majorante sommable n'apparaît, l'échec du test ne prouve pas la divergence. On examine alors directement la convergence uniforme, par exemple au moyen du reste de la série.

Convergence uniforme. Elle contrôle uniformément le reste de la somme, mais n'exige pas que la somme des normes des termes converge. Sur un ensemble réduit à un point, la série numérique alternée ∑ (−1)ⁿ⁻¹/n converge uniformément, alors qu'elle ne converge pas normalement.

Convergence simple. Elle autorise le rang nécessaire pour approcher la limite à dépendre du point x. La convergence normale impose au contraire des majorantes communes à tout X ; elle entraîne donc la convergence simple, mais la réciproque est fausse.

Convergence absolue ponctuelle. Pour chaque x fixé, la série ∑ |f_n(x)| peut converger sans qu'une série numérique unique domine tous les points. Le critère décisif est la sommabilité des supremums, pas seulement celle obtenue point par point.

Une majoration trop grossière peut échouer. Si les bornes choisies forment une série divergente, cela invalide seulement ce choix. Il faut chercher des bornes plus fines ou employer directement un critère de convergence uniforme.

Le supremum n'est pas nécessairement un maximum. Sur un ensemble non compact, une fonction peut approcher sa borne sans l'atteindre. Il faut conserver le supremum dans le critère au lieu de supposer l'existence d'un point maximisant chaque terme.

Le domaine fait partie de l'énoncé. La série de l'exemple converge normalement sur [0, 1], mais pas sur [0, +∞[ : pour chaque n ≥ 1, la fonction x ↦ (x/2)ⁿ y est non bornée. Il faut toujours recalculer les supremums sur l'ensemble annoncé.

Dériver demande davantage. La convergence normale de ∑ f_n ne contrôle pas à elle seule les dérivées. Avant de dériver terme à terme, il faut vérifier un théorème adapté et ses hypothèses sur les fonctions dérivables et la série des dérivées.

La fiche série de fonctions replace les termes f_n, les sommes partielles et la fonction somme dans leur cadre commun.

La convergence uniforme détaille le mode de convergence obtenu automatiquement dès qu'une série converge normalement.

La convergence simple montre ce qui subsiste lorsque le contrôle dépend du point considéré.