Disque de convergence

Imaginez un cercle centré sur 0 dans le plan complexe. Pour chaque nombre z placé strictement à l’intérieur, les termes de la série entière finissent par devenir assez petits pour que leur somme converge absolument. Au-delà du cercle, ils ne donnent plus une somme convergente.

La distance du centre au cercle est le rayon de convergence. Le bord reste une zone à examiner point par point : deux nombres situés sur ce même cercle peuvent conduire à des comportements différents.

Une série entière centrée en 0 est définie par une suite de coefficients complexes, notés a_n, et par une variable complexe z. Sa somme formelle et la formule de Hadamard qui définit son rayon R s’écrivent :

Le disque de convergence est l’ensemble des z tels que |z| < R. La série y converge absolument, et sa somme y définit une fonction holomorphe. Pour |z| > R, elle diverge. La formule emploie les conventions 1/0 = +∞ et 1/+∞ = 0. Lorsque |z| = R, le critère ne conclut pas : chaque point du cercle frontière doit être étudié séparément. Le rayon dépend des coefficients, tandis que le disque est centré en 0 parce que la série est écrite en puissances de z.

Quatre éléments structurent l’objet. Le centre est 0, origine des puissances de z. Les coefficients a_n déterminent le rayon R par leur croissance asymptotique. Le disque ouvert regroupe les points vérifiant |z| < R, où la convergence absolue est assurée. Le cercle |z| = R forme une frontière qui n’appartient pas au disque.

Les coefficients fixent donc le rayon, puis le centre et ce rayon suffisent à tracer le disque. En revanche, ils ne donnent pas une réponse uniforme sur le cercle : il faut revenir aux termes de la série pour chaque point frontière. La couleur ou l’échelle choisie pour le dessin ne participe pas à la définition.

Considérons la série dont le terme d’indice n est zⁿ/(n·2ⁿ), pour n à partir de 1. Ses coefficients sont a_n = 1/(n·2ⁿ). Nous allons déterminer son rayon, puis tester quatre points du plan complexe.

1. Calcul du rayon. La racine n-ième de |a_n| vaut 1/(2·n^1/n). Comme n^1/n tend vers 1, la limite supérieure vaut 1/2. La formule de Hadamard donne donc R = 2.

2. Tests.
Pour z = 1, la série converge absolument par comparaison avec la série géométrique de termes 1/2ⁿ.
Pour z = 3, son terme (3/2)ⁿ/n ne tend pas vers 0 : la série diverge.
Pour z = 2, on obtient la série harmonique de terme 1/n, qui diverge.
Pour z = −2, on obtient la série harmonique alternée de terme (−1)ⁿ/n, qui converge, mais pas absolument.

Le contrôle est géométrique : 1 est à l’intérieur du disque, 3 à l’extérieur, et −2 comme 2 sont sur le cercle. Les deux résultats opposés au bord confirment que le rayon seul n’y décide pas la convergence.

Pour savoir où une série entière représente effectivement une fonction, on calcule d’abord R, puis on compare |z| à ce rayon. Une inégalité stricte donne immédiatement le verdict à l’intérieur ou à l’extérieur.

La formule de Hadamard fonctionne à partir de la croissance des coefficients. Lorsque le quotient de deux coefficients successifs possède une limite exploitable, le critère de d’Alembert peut fournir le rayon plus directement.

Pour un point du cercle frontière, on remplace z par sa valeur dans la série et on emploie alors un critère adapté aux séries numériques. Dans l’exemple, ce geste sépare la divergence en z = 2 de la convergence conditionnelle en z = −2.

Disque et rayon de convergence. Le rayon R est un nombre positif, nul ou infini ; le disque est l’ensemble géométrique défini par |z| < R. Dans l’exemple, le rayon vaut 2, tandis que le disque contient tous les nombres complexes de module strictement inférieur à 2.

Disque et cercle de convergence. Le disque contient les points intérieurs ; le cercle est seulement sa frontière |z| = R. Ainsi, z = 1 appartient au disque de l’exemple, mais z = 2 appartient au cercle et exige une étude distincte.

Disque et ensemble complet de convergence. Le disque garantit la convergence absolue, mais l’ensemble où la série converge peut aussi contenir certains points du bord. Ici, il contient z = −2 mais pas z = 2 : il ne se réduit donc pas au seul disque ouvert.

Sur la frontière. Lorsque |z| = R, le test par le rayon devient muet. Il faut substituer le point dans la série : l’exemple diverge en z = 2 et converge conditionnellement en z = −2.

Rayon nul. Si R = 0, aucun point ne vérifie |z| < R : le disque ouvert est vide. La série reste néanmoins définie et convergente au centre z = 0, où tous les termes de degré positif s’annulent.

Rayon infini. Si R = +∞, la convergence absolue vaut dans tout le plan complexe et il n’existe pas de cercle frontière fini à examiner. Il ne faut donc pas chercher un bord sur un dessin à échelle finie.

Centre déplacé. Une série écrite en puissances de z − z₀ possède un disque centré en z₀, et non en 0. Il faut lire le centre dans l’expression avant d’interpréter l’inégalité de distance.

La fiche série entière replace le disque dans la structure générale d’une somme de puissances à coefficients complexes.

Le rayon de convergence approfondit le seuil numérique qui sépare convergence absolue et divergence.

La formule de Hadamard détaille le calcul du rayon à partir de la croissance asymptotique des coefficients.

La notion de fonction holomorphe précise la régularité de la somme obtenue à l’intérieur du disque.