Cylindre de sécurité

Imaginez le plan complexe comme une feuille centrée sur un point. Deux cercles y découpent une couronne : on reste à l’extérieur du petit cercle et à l’intérieur du grand. Dans cette zone, les termes d’une série de Laurent s’additionnent sans instabilité sur toute couronne fermée qui ne touche pas les bords.

La région ainsi protégée est appelée ici cylindre de sécurité. Elle indique où la somme définit une fonction analytique et où l’on peut dériver ou intégrer la série terme à terme.

Dans le cadre retenu ici, le cylindre de sécurité est une couronne ouverte du plan complexe, centrée au point autour duquel une série est développée. Pour une série de Laurent de centre a, dont les coefficients sont les nombres complexes c_n, la somme porte sur des puissances d’indice entier :

Si la série possède un anneau de convergence non vide, il existe deux rayons, le rayon intérieur r et le rayon extérieur R, avec 0 ≤ r < R ≤ +∞, tels que la série converge absolument lorsque r < |z − a| < R. Sur tout compact contenu dans cette couronne, la convergence est uniforme. Cette propriété locale uniforme rend légitimes la dérivation sous le signe somme et l’intégration terme à terme le long d’un chemin qui reste dans la couronne. Une série entière ordinaire ne contient pas de puissances négatives : son rayon intérieur vaut alors 0 et son domaine de convergence est un disque plutôt qu’une couronne trouée. Le comportement sur chacun des deux bords doit être étudié séparément.

On considère la variable complexe z et la somme de deux séries géométriques. Les données sont le centre 0, le rayon intérieur 1/2 et le rayon extérieur 2. Pour contrôler la convergence uniforme, on choisit aussi la couronne compacte K définie par 3/4 ≤ |z| ≤ 3/2.

1. La première série converge si |z|/2 < 1, donc si |z| < 2.
2. La seconde converge si 1/(2|z|) < 1, donc si |z| > 1/2.
3. Les deux conditions donnent la couronne 1/2 < |z| < 2.
4. Sur K, les rapports en valeur absolue sont au plus 3/4 pour la première série et 2/3 pour la seconde. Deux séries géométriques convergentes majorent donc les termes, uniformément sur K.

Le contrôle est refaisable aux deux extrémités de K : (3/2)/2 = 3/4 et 1/(2 × 3/4) = 2/3, deux nombres strictement inférieurs à 1. La figure matérialise l’espace laissé entre les deux frontières et la couronne compacte utilisée pour cette vérification.

Pour étudier une série de Laurent, on sépare les puissances positives des puissances négatives. Les deux conditions de convergence fournissent respectivement une borne extérieure et une borne intérieure ; leur intersection donne la couronne utile.

Pour justifier un passage à la limite, on ne travaille pas directement jusqu’aux bords. On choisit une couronne fermée strictement contenue dans la région, puis on établit une majoration uniforme comme dans l’exemple.

Pour dériver la somme ou intégrer le long d’un chemin, on vérifie que le point ou tout le chemin reste dans la couronne ouverte. Si un bord est atteint, il faut étudier la convergence sur ce bord au lieu d’appliquer automatiquement les propriétés de l’intérieur.

Disque de convergence d’une série entière. Il est défini par la seule condition |z − a| < R. Un nombre fini de puissances négatives peut laisser le rayon intérieur nul : le domaine est alors un disque éventuellement privé du centre. Un rayon intérieur positif vient d’une partie négative infinie dont la convergence impose une distance minimale au centre.

Cylindre de sécurité en équations différentielles. Ce même intitulé peut désigner un voisinage dans l’espace des variables où l’on contrôle les hypothèses d’un théorème d’existence locale. Le critère qui tranche est l’objet étudié : série de Laurent dans le plan complexe ici, solution d’une équation différentielle dans l’autre emploi.

Convergence ponctuelle. Elle se vérifie point par point, tandis que la propriété requise ici est uniforme sur chaque compact de la couronne. Faire varier z dans toute une couronne fermée distingue les deux contrôles.

Les bords ne sont pas inclus automatiquement. Dans l’exemple, à |z| = 2, les termes de la première série ont une valeur absolue égale à 1 et ne tendent pas vers 0. À |z| = 1/2, le même défaut touche la seconde série. Ces deux bords divergent donc, mais une autre série pourrait exiger une étude différente.

La couronne ouverte entière n’est pas un compact. Une majoration uniforme valable sur 1/2 < |z| < 2 peut échouer près d’un bord. Il faut fixer des rayons strictement intermédiaires, comme 3/4 et 3/2, avant d’invoquer la convergence uniforme sur le compact obtenu.

Le mot « annulaire » admet des cas dégénérés. Si le rayon intérieur vaut 0, on obtient un disque ; si le rayon extérieur vaut +∞, la région s’étend arbitrairement loin. Il faut annoncer les deux rayons plutôt que de supposer une couronne bornée et trouée.

La série de Laurent précise la structure des puissances positives et négatives qui produit une couronne de convergence.

Le Rayon de convergence explique comment une borne radiale délimite le domaine où une série converge.

La convergence uniforme permet d’intégrer terme à terme sur un compact. Pour dériver terme à terme, on utilise le théorème propre aux séries de Laurent ou on vérifie aussi la convergence uniforme de la série dérivée.

Une fonction analytique relie la somme obtenue à son développement local en séries de puissances.