AnalyseObjet géométrique · Glossaire
Cercle de convergence
Le cercle de convergence d'une série entière est le cercle du plan complexe de rayon égal au rayon de convergence, centré à l'origine (ou au centre de développement). À l'intérieur de ce cercle, la série converge absolument ; à l'extérieur, elle diverge. Sur le cercle lui-même, la convergence dépend de chaque cas particulier. Le rayon de convergence se calcule par la formule de Hadamard ou par le critère de d'Alembert.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer le cercle par rapport au disque de convergence et à son extérieur.
- Calculer un rayon de convergence avec le critère de d'Alembert.
- Vérifier sur une même série une convergence intérieure, une divergence extérieure et deux comportements au bord.
- Reconnaître les cas R = 0 et R = +∞ ainsi que les limites du quotient de d'Alembert.
En clair
Imaginez un disque dessiné autour du point où une série entière est développée. Pour chaque point strictement dedans, l'addition infinie fonctionne même si l'on remplace tous ses termes par leurs valeurs absolues. Pour chaque point strictement dehors, elle ne converge pas.
La circonférence est la frontière à examiner point par point. Sur un même cercle, la série peut converger à certains points et diverger à d'autres. Le dessin du disque sépare ces trois zones sans préjuger du comportement sur le bord.
Définition
Une série entière de centre z0 est déterminée par une suite de coefficients complexes, notés an. Pour une variable complexe z, elle s'écrit :
Il existe un rayon de convergence R compris entre 0 et +∞, avec les cas extrêmes admis.
Si la distance |z − z0| est strictement inférieure à R, la série converge absolument. Si elle est strictement supérieure à R, la série diverge. Quand 0 < R < +∞, le cercle de convergence est la frontière d'équation . Le disque ouvert intérieur est le domaine de convergence absolue garanti ; le cercle lui-même n'en fait pas automatiquement partie.
La formule de Cauchy-Hadamard donne le rayon à partir des coefficients :
Lorsque les quotients sont définis à partir d'un certain rang et que leur limite existe, le critère de d'Alembert donne . Chacun des points du bord exige ensuite une étude propre.
De quoi c'est fait
Le cercle de convergence repose sur quatre données liées. Le centre de développement z0 fixe l'origine des distances. Les coefficients an déterminent le rayon R. Ce rayon fixe à son tour la frontière formée par les points situés exactement à la distance R du centre.
La frontière sépare le disque ouvert, où la convergence absolue est garantie, de l'extérieur, où la série diverge. Le centre et le rayon suffisent à tracer le cercle, mais pas à décider la convergence sur celui-ci : il faut alors revenir aux termes de la série. Une couleur, une orientation des axes ou l'échelle du dessin ne définissent pas l'objet.
Un exemple, pas à pas
On étudie la série de centre 0 dont la variable est le nombre complexe z :
Son coefficient d'indice n est an = 1/(n·2n). On testera les points z = 1, z = 3, z = 2 et z = −2.
1. Le quotient de deux coefficients consécutifs vaut . Sa limite vaut 2, donc le rayon de convergence est R = 2.
2. Au point z = 1, situé à l'intérieur, la série des valeurs absolues est : elle converge. Au point z = 3, situé à l'extérieur, le terme 3n/(n·2n) ne tend pas vers 0, donc la série diverge.
3. Les points z = 2 et z = −2 sont sur le cercle. Pour z = 2, on obtient la série harmonique , qui diverge. Pour z = −2, on obtient , qui converge, mais pas absolument.
4. Le contrôle consiste à comparer les distances au centre avec 2 : 1 < 2, 3 > 2 et |±2| = 2. Le schéma rassemble ces positions et confirme que le rayon tranche partout sauf sur la frontière.
En pratique
Pour savoir où une série entière représente une fonction analytique, on calcule d'abord son rayon. Si le point choisi est strictement à l'intérieur du disque, la convergence absolue autorise notamment à additionner sans dépendre de l'ordre des termes.
Lorsque le quotient de deux coefficients consécutifs a une limite exploitable, le critère de d'Alembert fournit souvent R directement. Si ce quotient n'existe pas ou oscille, la formule de Cauchy-Hadamard reste adaptée parce qu'elle utilise une limite supérieure.
Pour un point placé exactement sur le cercle, le calcul de R ne suffit plus. On remplace z par ce point dans la série, puis on applique un critère approprié à la série numérique obtenue, comme dans les cas harmonique et harmonique alterné de l'exemple.
À ne pas confondre
Cercle et rayon de convergence. Le rayon R est une valeur réelle non négative, ou +∞, tandis que le cercle est l'ensemble des points vérifiant |z − z0| = R. Dans l'exemple, le rayon vaut 2 et le cercle contient notamment 2 et −2.
Cercle et disque de convergence. Le cercle ne désigne que la frontière. Le disque ouvert contient les points dont la distance au centre est strictement inférieure à R ; z = 1 appartient au disque de l'exemple, pas au cercle.
Convergence simple et convergence absolue. Sur le bord, une série peut converger sans que la série des valeurs absolues converge. Au point z = −2 de l'exemple, la convergence est conditionnelle ; ce point n'appartient donc pas au domaine de convergence absolue.
Limites et pièges
Le bord ne reçoit aucun verdict global. Lorsque |z − z0| = R, le symptôme est que le critère ayant fourni R devient muet. Il faut étudier chaque point ou famille de points avec un critère de séries numériques.
Un rayon nul ne produit pas un cercle usuel. Si R = 0, la série ne converge qu'au centre ; la frontière se réduit au point z0. Il faut décrire ce cas dégéné plutôt que dessiner un cercle de taille positive.
Un rayon infini supprime la frontière finie. Si R = +∞, la série converge absolument pour tout nombre complexe z. Aucun cercle de convergence fini ne borne alors son domaine.
D'Alembert n'est pas toujours disponible. Des coefficients nuls ou un quotient oscillant peuvent empêcher la limite de |an/an+1| d'exister. Il faut alors revenir à Cauchy-Hadamard ou à un autre raisonnement, sans conclure que le rayon n'existe pas.
Pour aller plus loin
Rayon de convergence — Approfondir le nombre qui fixe la taille du disque et du cercle.
série entière — Replacer le cercle dans la structure complète d'une somme de puissances.
formule de Hadamard — Calculer le rayon même lorsque le quotient des coefficients ne se stabilise pas.
critère de d'Alembert — Examiner la méthode par quotient employée dans l'exemple.
convergence absolue — Distinguer la garantie intérieure de la convergence conditionnelle possible au bord.
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