ArithmétiqueThéorème · Glossaire
théorème de Mertens
En théorie des nombres, les théorèmes de Mertens décrivent asymptotiquement des sommes et un produit construits sur les nombres premiers, notamment la somme de leurs inverses et des sommes logarithmiques. En analyse, le théorème de Mertens affirme que, si l'une de deux séries numériques converge absolument et l'autre converge, leur produit de Cauchy converge vers le produit de leurs sommes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire les trois comportements asymptotiques associés aux nombres premiers.
- Recalculer à x = 100 une somme et un produit puis les comparer à leurs modèles.
- Reconnaître l'hypothèse de convergence absolue requise pour le produit de Cauchy.
- Distinguer les résultats de Mertens du théorème des nombres premiers.
En clair
Additionnons les inverses des nombres premiers jusqu’à 100 : 1/2 + 1/3 + 1/5 + … + 1/97 vaut environ 1,803. En allant beaucoup plus loin, la somme continue de croître, mais extrêmement lentement. Les théorèmes arithmétiques de Mertens décrivent cette allure et celle d’un produit construit avec les mêmes nombres premiers.
Le nom de Mertens désigne aussi un résultat sur les séries : sous une hypothèse de convergence absolue, multiplier deux sommes par le produit de Cauchy donne bien le produit de leurs sommes.
Définition
En théorie des nombres, on fixe un nombre réel x strictement supérieur à 1 qui tend vers l’infini et l’on fait varier p parmi les nombres premiers inférieurs ou égaux à x. Trois résultats classiques contrôlent une somme d’inverses, une somme pondérée par le logarithme et un produit. En notant B1 la constante de Meissel-Mertens et γ la constante d’Euler-Mascheroni, ils s’écrivent :
Le symbole ∼ signifie que le quotient des deux expressions tend vers 1. Le terme o(1) tend vers 0, tandis que O(1) reste borné. En analyse, pour deux séries de termes an et bn, le produit de Cauchy a pour terme cn la somme des produits akbn−k. Si une série converge absolument et l’autre converge, la série des cn converge vers le produit des deux sommes.
Le principe
Si x tend vers l’infini et si p parcourt les nombres premiers au plus égaux à x, alors les trois comportements de Mertens sont :
Pour les séries, si la série des an converge absolument et celle des bn converge, alors leur produit de Cauchy converge et sa somme vaut : . Les rôles des deux séries peuvent être échangés.
Quand l'utiliser
Pour les résultats arithmétiques, x est un réel strictement supérieur à 1 destiné à devenir arbitrairement grand, p désigne toujours un nombre premier et log est le logarithme naturel. Les sommes et le produit ne portent que sur les premiers vérifiant p ≤ x. Il s’agit de comportements asymptotiques : une valeur finie de x permet une comparaison, pas une égalité avec l’expression limite.
Pour le résultat d’analyse, les deux séries numériques doivent converger et au moins l’une doit converger absolument. Si elles convergent toutes deux seulement conditionnellement, le théorème ne permet aucune conclusion sur leur produit de Cauchy ; il faut étudier directement les termes cn et leurs sommes partielles.
Un exemple, pas à pas
Prenons x = 100. Les données sont les 25 nombres premiers de 2 à 97, la constante B1 ≈ 0,261497 et la constante γ ≈ 0,577216. Nous allons comparer deux quantités exactes à leurs modèles asymptotiques.
1. L’addition des 25 inverses donne .
2. Le modèle associé vaut log(log(100)) + B1 ≈ 1,788676. L’écart est donc d’environ 0,014141.
3. Le produit des 25 facteurs donne .
4. Le modèle e−γ/log(100) vaut environ 0,121919, soit un écart d’environ 0,001602. Le contrôle consiste à former les quotients : 1,802817/1,788676 ≈ 1,0079 et 0,120317/0,121919 ≈ 0,9869. Ils sont déjà proches de 1, sans lui être égaux à x = 100.
En pratique
Pour estimer rapidement une somme d’inverses de premiers jusqu’à une grande borne x, on emploie log(log x) + B1. Pour une petite borne ou une précision garantie, on additionne les termes et on contrôle l’erreur au lieu de traiter l’asymptotique comme une valeur exacte.
Pour estimer le produit des facteurs 1 − 1/p, on utilise e−γ/log x. Si le besoin porte sur le produit réciproque, on inverse l’expression et l’on obtient une croissance comparable à eγ log x.
Pour multiplier les sommes de deux séries convergentes, on vérifie d’abord qu’au moins l’une converge absolument. Le théorème de Mertens donne alors la convergence du produit de Cauchy et autorise le produit des sommes ; sans cette hypothèse, une étude directe est nécessaire.
À ne pas confondre
Théorèmes arithmétiques de Mertens et théorème des nombres premiers. Les premiers contrôlent des sommes et produits portant sur p ≤ x ; le second décrit combien de nombres premiers se trouvent sous x. Une question sur un produit de facteurs 1 − 1/p relève de Mertens, une question de comptage relève du théorème des nombres premiers.
Théorème de Mertens en analyse et résultats arithmétiques. Le critère est l’objet manipulé : deux séries et leur convolution d’un côté, des nombres premiers ordonnés par une borne x de l’autre. Le nom commun ne rend pas les énoncés interchangeables.
Limites et pièges
Une asymptotique n’est pas une égalité à borne finie. À x = 100, le produit exact vaut environ 0,120317 alors que e−γ/log(100) vaut environ 0,121919. Le symptôme d’erreur est l’emploi du signe = ; il faut écrire ≈ ou calculer le produit exact.
La somme des inverses diverge malgré sa lenteur. Le terme principal log(log x) croît sans borne. Une stabilisation apparente sur une plage numérique ne prouve donc pas la convergence ; il faut raisonner avec le comportement lorsque x tend vers l’infini.
Deux convergences conditionnelles ne suffisent pas. Pour un produit de Cauchy, constater que les deux séries ont une somme ne vérifie pas l’hypothèse de Mertens. Il faut établir la convergence absolue d’au moins l’une ou analyser séparément la série produit.
La borne n’a pas besoin d’être première. Si x se situe entre deux nombres premiers consécutifs, les sommes et produits gardent les mêmes termes. Il faut conserver exactement la condition p ≤ x, plutôt que d’ajouter artificiellement un entier composé.
Pour aller plus loin
nombre premier — Revenir à la définition des entiers qui indexent toutes les sommes et tous les produits arithmétiques de Mertens.
théorème des nombres premiers — Relier les asymptotiques de Mertens au comportement global du nombre de premiers sous une borne.
produit de Cauchy de deux séries — Détailler la convolution des termes à laquelle s’applique le résultat analytique de Mertens.
convergence absolue — Approfondir l’hypothèse qui sécurise l’échange entre produit de Cauchy et produit des sommes.
Mertens Franz — Situer le mathématicien auquel sont attribués ces résultats d’arithmétique et d’analyse.
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