AnalyseNotion · Glossaire
constante d'Euler-Mascheroni
La constante d'Euler-Mascheroni, notée γ, est définie comme la limite de la différence entre la somme partielle de la série harmonique H(n) = Σ_{k=1}^{n} 1/k et le logarithme naturel ln(n) quand n tend vers l'infini : γ = lim_{n→+∞} (H(n) − ln n) ≈ 0,5772156649… Cette constante quantifie l'écart entre la croissance de la série harmonique et celle du logarithme, deux quantités asymptotiquement équivalentes. Elle apparaît dans de nombreux domaines des mathématiques : théorie analytique des nombres, analyse complexe, calcul de certaines intégrales impropres et développements asymptotiques. Leonhard Euler en a calculé les 16 premières décimales ; Lorenzo Mascheroni y a contribué par des calculs ultérieurs. On ne sait pas si γ est rationnelle ou irrationnelle. Sa transcendance n'est pas davantage établie ; si elle l'était, cela impliquerait son irrationalité. Ces questions ouvertes en font l'une des constantes les plus mystérieuses de l'analyse.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier γ comme la limite de H_n − ln n.
- Recalculer l'écart pour n = 10.
- Distinguer une valeur à rang fini de la constante limite.
- Savoir que l'irrationalité et la transcendance de γ ne sont pas établies.
En clair
Additionnez 1, puis 1/2, puis 1/3, et ainsi de suite. Cette somme augmente sans fin, mais presque au même rythme que le logarithme naturel du nombre de termes. La différence entre les deux diminue peu à peu et se stabilise autour de 0,5772.
Cette valeur stable est la constante d'Euler-Mascheroni, notée γ. Elle mesure donc un décalage persistant : le logarithme décrit bien la croissance globale de la somme harmonique, mais il lui manque cette correction constante à la limite.
Définition
Pour un entier positif n, la somme harmonique Hn additionne les inverses des entiers de 1 à n. Le logarithme naturel de n, noté ln n, croît au même rythme dominant. La constante d'Euler-Mascheroni, notée γ, est la limite de leur différence lorsque n devient arbitrairement grand.
Les deux définitions utiles s'écrivent : , où l'indice k parcourt les entiers de 1 à n, puis . Numériquement, γ ≈ 0,5772156649… Dire que Hn et ln n sont asymptotiquement équivalents décrit leur croissance dominante ; leur différence ne tend pas vers zéro, mais vers γ.
Cette constante intervient en théorie analytique des nombres, en analyse complexe, dans certaines intégrales impropres et dans des développements asymptotiques. Euler en a calculé les 16 premières décimales, puis Mascheroni a poursuivi ces calculs. On ignore encore si γ est irrationnelle ou transcendante.
Un exemple, pas à pas
Prenons dix termes. Les données sont l'entier n = 10 et les dix inverses 1/k, où l'indice k prend successivement les valeurs de 1 à 10. Nous allons comparer leur somme au logarithme naturel de 10.
1. Additionnons les dix inverses. La somme harmonique H10 vaut :
2. Évaluons ensuite le logarithme naturel du nombre de termes :
3. Soustrayons le second résultat du premier :
L'écart obtenu, environ 0,6264, est encore supérieur à γ ≈ 0,5772. La figure montre qu'en augmentant le nombre de termes jusqu'à 100, cet écart continue de se rapprocher de γ.
Le contrôle se refait directement : calculez les dix fractions, puis vérifiez que leur somme moins 2,302585093 donne 0,626383161 à l'arrondi indiqué. La constante elle-même n'est obtenue qu'à la limite, pas avec dix termes.
En pratique
Pour estimer une grande somme harmonique, on part de ln n et l'on tient compte de γ comme correction constante. Si le nombre de termes reste petit et fixé, le calcul direct de Hn est préférable.
Dans un développement asymptotique, γ signale que l'on affine la seule croissance logarithmique. Si seul l'ordre dominant compte, ln n suffit ; si l'écart constant compte, il faut conserver γ.
En théorie analytique des nombres, en analyse complexe ou dans certaines intégrales impropres, on reconnaît γ lorsqu'une expression relie une accumulation harmonique à un logarithme. La formule exacte du problème reste alors le point de départ.
À ne pas confondre
La constante γ et une somme harmonique Hn. Hn dépend du nombre fini de termes n, tandis que γ est une limite fixe. Pour n = 10, H10 ≈ 2,929 : ce nombre n'est pas γ.
Limites et pièges
Un rang fini ne donne pas exactement γ. Le symptôme est une valeur qui change encore avec n : à n = 10, l'écart vaut environ 0,6264. Il faut l'annoncer comme une approximation issue de Hn − ln n, et non comme la constante exacte.
Équivalentes ne signifie pas égales. Hn et ln n ont la même croissance dominante, mais leur soustraction ne tend pas vers zéro. Il faut conserver le terme constant γ lorsqu'on examine leur différence.
La nature arithmétique de γ reste inconnue. Une affirmation présentant son irrationalité ou sa transcendance comme démontrée dépasse les connaissances établies. Il faut formuler ces deux propriétés comme des questions encore ouvertes.
Pour aller plus loin
série harmonique — Pour approfondir la somme Hn dont la comparaison au logarithme fait apparaître γ.
Les toujours étonnantes curiosités de la série harmonique — Pour prolonger l'exploration des comportements remarquables de la série qui sert à définir γ.
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