problème des diviseurs de Dirichlet

Prenons les entiers de 1 à 10 et comptons les diviseurs de chacun. Le total vaut 27 : les nombres très composés contribuent davantage que les nombres premiers. Le problème des diviseurs de Dirichlet demande comment ce total grandit quand la borne x devient très grande. Une courbe simple, proche de x ln x, décrit la tendance moyenne ; le reste mesure l'écart entre cette tendance et le total réellement observé.

Pour tout entier positif n, la fonction diviseur d(n) compte ses diviseurs positifs. Pour un réel x positif, la fonction sommatoire S(x) additionne d(n) pour les entiers n qui vérifient n ≤ x :

Le problème consiste à préciser la croissance moyenne de S(x) et la taille de ses fluctuations. La constante γ est la constante d'Euler-Mascheroni, et ln désigne le logarithme népérien. L'approximation de référence est $S(x)\approx x\ln x+(2\gamma -1)xS(x)\backslash approx\; x\backslash ln\; x+(2\backslash gamma-1)x$. Le terme d'erreur est défini par $\mathrm{\Delta }(x)=S(x)-x\ln x-(2\gamma -1)x\backslash Delta(x)=S(x)-x\backslash ln\; x-(2\backslash gamma-1)x$.

On cherche l'exposant infimal θ pour lequel l'écart reste borné en ordre de grandeur par une constante fois x^θ, ce que note $\mathrm{\Delta }(x)=O(x^{\theta })\backslash Delta(x)=O(x^\backslash theta)$. Dirichlet a obtenu θ ≤ 1/2 ; la conjecture indiquée par la source est θ = 1/4. Cette dernière valeur concerne l'exposant optimal recherché, pas une égalité exacte de l'erreur pour chaque x.

Pour rendre la somme concrète, choisissons x = 10. Les données sont les entiers 1 à 10 et le nombre de diviseurs positifs de chacun : 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3 et 4.

Le total des dix contributions est $S(10)=1+2+2+3+2+4+2+4+3+4=27S(10)=1+2+2+3+2+4+2+4+3+4=27$.
La formule équivalente compte les couples d'entiers positifs (a,b) dont le produit ne dépasse pas 10 : chaque couple correspond à un diviseur a de son multiple ab.
Le contrôle donne donc 27 couples, et confirme le calcul de S(10).

Pour explorer numériquement le problème, on calcule d(n) pour chaque entier jusqu'à une borne x, puis on additionne ces valeurs. Un crible des diviseurs convient lorsque x est modeste ; il permet de vérifier directement les contributions de chaque entier.

Pour observer la tendance globale, on compare S(x) à x ln x + (2γ − 1)x. Pour mesurer la qualité de l'approximation, on regarde plutôt l'écart Δ(x), car deux totaux proches peuvent cacher des fluctuations de tailles différentes.

Pour une étude théorique, l'objectif est de borner cet écart par une puissance de x. Une borne connue est préférable à une simple extrapolation numérique, car la conjecture θ = 1/4 porte sur le comportement asymptotique lorsque x devient arbitrairement grand.

Le problème des diviseurs de Dirichlet ne désigne pas la fonction d(n) elle-même. Le test est simple : si l'on étudie le nombre de diviseurs d'un seul entier, on calcule d(n) ; si l'on additionne ces nombres jusqu'à x et que l'on analyse la croissance du total, on étudie le problème des diviseurs.

Il ne faut pas non plus confondre l'approximation principale et le terme d'erreur. La première décrit la tendance x ln x + (2γ − 1)x ; le second est la différence Δ(x) entre le total exact et cette tendance.

La notation S(x) additionne les entiers n ≤ x. Si x n'est pas entier, le dernier terme est donc d(⌊x⌋), où ⌊x⌋ est la partie entière de x ; remplacer x par un entier voisin sans le préciser change la somme.

Le symbole ≈ indique une approximation asymptotique, tandis que Δ(x) est défini exactement par une soustraction. Il est incorrect de remplacer ≈ par = ou de conclure que l'erreur est toujours positive : le signe et la valeur de Δ(x) dépendent de x.

L'exposant θ concerne une borne en ordre de grandeur quand x tend vers l'infini. La borne θ ≤ 1/2 attribuée à Dirichlet et la conjecture θ = 1/4 ne fournissent donc pas une valeur exacte de Δ(x) pour x = 10, ni pour une autre borne finie.

Le prolongement naturel consiste à étudier la frontière entre la moyenne x ln x + (2γ − 1)x et les fluctuations Δ(x). Cette perspective mène à une question de théorie des nombres analytique : améliorer la puissance de x dans la borne de l'erreur, ou établir qu'une valeur proposée est optimale.