La Vallée-Poussin

En 1896, à Louvain, Charles de La Vallée-Poussin étudie une question simple à énoncer : combien trouve-t-on de nombres premiers avant un nombre donné ? En avançant parmi les entiers, ces nombres se raréfient en moyenne, selon une tendance mesurable.

La Vallée-Poussin démontre rigoureusement le théorème des nombres premiers, simultanément et indépendamment de Jacques Hadamard. Ce résultat estime le nombre de nombres premiers jusqu'à une limite très grande. Sa preuve relie ainsi un problème d'arithmétique à l'analyse complexe, grâce à la fonction zêta de Riemann.

Charles-Jean Gustave Nicolas de La Vallée-Poussin (1866-1962) est un mathématicien belge, professeur à l'université catholique de Louvain pendant l'essentiel de sa carrière. Son nom est notamment attaché à une preuve fondatrice de la théorie analytique des nombres. En 1896, il démontre le théorème des nombres premiers indépendamment de Jacques Hadamard et simultanément à lui.

Pour un réel positif x, la fonction π(x) compte les nombres premiers inférieurs ou égaux à x. Le logarithme naturel de x est noté ln x. Le théorème affirme l'équivalence asymptotique suivante : $\pi (x)\sim \frac{x}{\ln x}(x\to +\mathrm{\infty })\backslash pi(x)\; \backslash sim\; \backslash frac\{x\}\{\backslash ln\; x\}\; \backslash quad\; (x\; \backslash to\; +\backslash infty)$. Autrement dit, le quotient de π(x) par x/ln x tend vers 1 lorsque x grandit sans borne. Il s'agit d'une tendance à l'infini, non d'une égalité pour chaque valeur de x.

La preuve exploite les propriétés analytiques de la fonction zêta de Riemann et applique l'analyse complexe à l'arithmétique. Les travaux de La Vallée-Poussin portent aussi sur l'intégration, la théorie du potentiel et l'approximation des fonctions.

Prenons la limite x = 100. Les données sont les entiers de 1 à 100 et la liste vérifiable des nombres premiers qui ne dépassent pas 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

1. Le comptage de cette liste donne 25 nombres premiers, donc π(100) = 25.
2. Le logarithme naturel de 100 vaut environ 4,6052.
3. L'approximation du théorème vaut $\frac{100}{\ln 100}\approx \mathrm{21,71}\backslash frac\{100\}\{\backslash ln\; 100\}\; \backslash approx\; 21\{,\}71$.
4. Le quotient de la valeur exacte par l'approximation vaut environ 25/21,71 ≈ 1,15.

La figure compare les deux résultats sur la même échelle. À 100, l'approximation n'est pas égale au comptage exact. Le contrôle pertinent consiste à refaire la liste puis la division : le théorème prévoit que le quotient se rapproche de 1 quand la limite devient très grande, pas qu'il vaille déjà 1 pour x = 100.

Pour connaître exactement combien de nombres premiers se trouvent sous une petite limite, on les énumère ou on emploie un procédé de criblage. L'approximation x/ln x devient surtout pertinente lorsque l'énumération directe est trop longue.

Pour étudier la répartition globale des nombres premiers, on compare π(x) à x/ln x. Le critère observable est leur quotient : sa proximité avec 1 mesure l'accord relatif, tandis que la différence brute peut encore augmenter.

Pour comprendre la démonstration historique plutôt que seulement utiliser l'estimation, il faut suivre le rôle de la fonction zêta de Riemann. Cette voie analytique explique comment La Vallée-Poussin relie les propriétés d'une fonction complexe à une question arithmétique.

Le théorème et sa démonstration. Le théorème des nombres premiers est l'énoncé sur le comportement asymptotique de π(x). La contribution de La Vallée-Poussin est une preuve rigoureuse de cet énoncé : citer le résultat ne revient donc pas à dérouler sa démonstration.

Compter les nombres premiers et tester un entier. La fonction π(x) répond à une question globale : combien de nombres premiers ne dépassent pas x ? Elle ne décide pas, à elle seule, si un entier particulier est premier. Pour x = 100, π(100) = 25 ne dit pas comment vérifier que 97 est premier.

Une équivalence n'est pas une égalité. Pour x = 100, π(100) vaut exactement 25 tandis que 100/ln 100 vaut environ 21,71. Il faut comparer le quotient des deux quantités et observer son comportement lorsque x augmente.

Le résultat concerne la limite x → +∞. Une valeur isolée, même bien calculée, ne démontre pas une tendance asymptotique. L'exemple à 100 illustre la comparaison, mais seule la preuve établit que le quotient tend vers 1.

Le logarithme est naturel. Dans x/ln x, ln désigne le logarithme naturel. Remplacer ln par un logarithme dans une autre base change l'approximation d'un facteur constant et détruit l'équivalence annoncée.

L'analyse complexe intervient dans la preuve, pas dans le comptage. La quantité π(x) reste un entier réel. La fonction zêta fournit l'outil analytique qui permet de justifier la loi asymptotique.

Le glossaire théorème des nombres premiers précise l'énoncé asymptotique auquel le nom de La Vallée-Poussin est attaché.

La fiche fonction zêta de Riemann présente l'outil analytique au cœur de la démonstration.

L'article L'inépuisable théorème des nombres premiers prolonge l'étude du résultat et de sa portée en théorie des nombres.

L'article La fonction zêta et l'hypothèse de Riemann replace la fonction zêta dans un horizon plus large.