AnalyseObjet mathématique · Glossaire
fonction zêta de Riemann
La fonction zêta de Riemann, notée ζ, est une fonction méromorphe de la variable complexe s qui admet plusieurs définitions équivalentes. La définition originelle, valable pour tout complexe s de partie réelle strictement supérieure à 1, est donnée par la série de Dirichlet : . Cette série diverge pour s = 1, point en lequel ζ possède un pôle simple. La fonction ζ se prolonge analytiquement à tout le plan complexe privé de {1} par plusieurs procédés : la formule d'Euler-Maclaurin, l'intégrale de contour, ou l'équation fonctionnelle qui la relie à ζ(1 − s) via la fonction Gamma. Un résultat fondamental, dû à Euler, est le produit eulérien : , où le produit s'étend sur tous les nombres premiers p, établissant ainsi un lien profond entre la fonction zêta et la distribution des nombres premiers. L'hypothèse de Riemann, l'un des problèmes ouverts les plus célèbres des mathématiques, conjecture que tous les zéros non triviaux de ζ ont leur partie réelle égale à 1/2.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire la série de Dirichlet et son domaine de convergence.
- Refaire une somme partielle pour s = 2.
- Relier la somme sur les entiers au produit sur les nombres premiers.
- Distinguer la fonction zêta de l'hypothèse de Riemann.
En clair
Prenez les entiers 1, 2, 3, 4, puis associez-leur les nombres 1, 1/4, 1/9, 1/16 lorsque l'exposant choisi vaut 2. La fonction zêta additionne cette suite de contributions de plus en plus petites, sans s'arrêter.
Cette somme n'est que sa première porte d'entrée. D'autres écritures prolongent la fonction au-delà du domaine où la série converge et font apparaître un lien remarquable avec tous les nombres premiers.
Définition
La fonction zêta de Riemann, notée ζ, est une fonction d'une variable complexe. Pour un nombre complexe s dont la partie réelle est strictement supérieure à 1, elle est définie par la série de Dirichlet , où l'entier n parcourt tous les entiers positifs.
Cette série diverge lorsque s vaut 1. La fonction possède en ce point un pôle simple, mais elle se prolonge analytiquement à tout le reste du plan complexe. Ce prolongement peut être obtenu notamment par la formule d'Euler-Maclaurin, une intégrale de contour ou l'équation fonctionnelle reliant la valeur en s à celle en 1 − s par l'intermédiaire de la fonction Gamma.
Dans le domaine de la série, Euler a établi le produit , où la lettre p parcourt les nombres premiers. Cette identité relie la somme indexée par tous les entiers à la structure multiplicative des nombres premiers. L'hypothèse de Riemann porte sur les zéros non triviaux de la fonction prolongée : elle affirme que leur partie réelle vaut 1/2. Elle demeure une conjecture.
De quoi c'est fait
La fonction s'organise autour de cinq éléments. La variable complexe s fixe l'exposant. Les entiers positifs n indexent les termes 1/ns. Leur somme infinie définit ζ(s) lorsque la partie réelle de s dépasse 1. Le prolongement analytique étend ensuite cette même fonction au plan complexe privé du point 1. Enfin, le produit eulérien remplace l'indexation par tous les entiers par une indexation sur les nombres premiers.
Le choix de s détermine donc chaque terme de la série et sa somme. Le produit sur les nombres premiers et la somme sur les entiers donnent deux descriptions équivalentes dans le domaine initial. L'équation fonctionnelle relie, elle, les arguments s et 1 − s grâce à la fonction Gamma. Ces relations suffisent à situer les trois visages de l'objet : série, prolongement et produit.
Un exemple, pas à pas
Choisissons le nombre complexe s égal au réel 2, qui a une partie réelle supérieure à 1. Nous calculons la somme partielle S5 formée des cinq premiers termes. Pour le contrôle, nous ajouterons ensuite le sixième terme, correspondant à n = 6.
1. La définition donne .
2. Avec le dénominateur commun 3 600, les cinq numérateurs sont 3 600, 900, 400, 225 et 144.
3. Leur somme vaut 5 269, donc . Cette valeur approche ζ(2) par défaut, puisque les termes encore omis sont positifs.
4. Le terme suivant vaut 1/62 = 1/36 = 100/3 600. Le contrôle donne alors , une somme plus grande que S5.
Les six premières sommes partielles rendent visible le geste fondamental : chaque nouveau terme positif relève la somme, mais de moins en moins.
En pratique
Pour approcher une valeur lorsque la partie réelle de s dépasse 1, on additionne les premiers termes de la série. Une somme partielle convient à un calcul contrôlable ; le prolongement analytique devient nécessaire hors de ce domaine.
Pour mettre en évidence le rôle des nombres premiers, on choisit le produit eulérien plutôt que la somme. Le critère est l'indexation recherchée : tous les entiers dans la série, seulement les nombres premiers dans le produit.
Pour étudier les valeurs liées par s et 1 − s, on s'appuie sur l'équation fonctionnelle et la fonction Gamma. Pour parler des zéros non triviaux, on travaille avec la fonction prolongée et l'on distingue toujours la conjecture de Riemann d'un résultat démontré.
À ne pas confondre
Fonction zêta et hypothèse de Riemann. La fonction est l'objet défini par une série puis prolongé analytiquement. L'hypothèse est une affirmation encore ouverte sur ses zéros non triviaux. Calculer une somme partielle pour s = 2 évalue la fonction ; cela ne vérifie pas l'hypothèse.
Fonction zêta et fonction Gamma. Ce sont deux fonctions distinctes. La fonction Gamma intervient comme intermédiaire dans l'équation fonctionnelle de ζ. La présence de Gamma dans cette relation ne change donc pas le nom de la fonction dont on étudie les zéros.
Série de Dirichlet et produit eulérien. La première additionne des termes indexés par tous les entiers positifs ; le second multiplie des facteurs indexés par les nombres premiers. Dans le domaine initial, ils décrivent la même fonction, mais leurs opérations et leurs index ne sont pas interchangeables.
Limites et pièges
Partie réelle au plus égale à 1. La série originelle n'est définie comme somme convergente que lorsque la partie réelle de s est strictement supérieure à 1. Hors de ce domaine, il faut employer le prolongement analytique plutôt que poursuivre mécaniquement l'addition.
Le point s = 1. La série y diverge et la fonction prolongée y possède un pôle simple. Une valeur finie obtenue en tronquant la somme n'est donc pas ζ(1) ; elle indique seulement où la troncature s'est arrêtée.
Produit infini tronqué. Multiplier seulement quelques facteurs premiers produit une approximation, pas l'identité complète. Il faut annoncer le nombre de facteurs conservés, comme on annonce le nombre de termes d'une somme partielle.
Zéros non triviaux. L'hypothèse de Riemann ne dit pas que toute valeur de ζ se trouve sur une droite. Elle concerne ces zéros précis et conjecture que leur partie réelle est 1/2. Il faut la présenter comme un problème ouvert, jamais comme un théorème acquis.
Pour aller plus loin
La fonction zêta et l'hypothèse de Riemann — Pour approfondir le lien entre la fonction, ses zéros et la conjecture qui les situe.
nombre premier — Pour préciser quels entiers indexent le produit eulérien.
fonction gamma — Pour identifier la fonction qui intervient dans l'équation fonctionnelle de ζ.
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