AnalyseObjet mathématique · Glossaire
fonction gamma
La fonction gamma, notée Γ, est définie pour tout nombre complexe z de partie réelle strictement positive par l'intégrale : Γ(z) = ∫₀^{+∞} t^{z−1} e^{−t} dt. Cette intégrale converge absolument dans le demi-plan complexe {Re(z) > 0} et définit une fonction holomorphe. Par prolongement méromorphe, Γ est définie sur ℂ tout entier sauf aux entiers négatifs et en zéro, qui sont des pôles simples. Parmi ses propriétés fondamentales : la relation fonctionnelle Γ(z + 1) = z Γ(z), qui implique en particulier Γ(n + 1) = n! pour tout entier naturel n, faisant de Γ une généralisation de la factorielle ; la valeur remarquable Γ(1/2) = √π ; et, pour z ∉ ℤ, la formule de réflexion Γ(z)Γ(1 − z) = π / sin(πz).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier Γ(n + 1) à n! sans oublier le décalage d’une unité.
- Calculer Γ(4) et contrôler le résultat avec la relation fonctionnelle.
- Distinguer le domaine de l’intégrale du domaine obtenu par prolongement méromorphe.
- Repérer les pôles en zéro et aux entiers négatifs.
En clair
La factorielle produit la suite 1, 2, 6, 24… à partir des entiers. La fonction gamma prolonge cette idée à des nombres qui ne sont pas forcément entiers, et même à des nombres complexes. Elle conserve le même engrenage : passer de z à z + 1 revient à multiplier Γ(z) par z, selon la relation Γ(z + 1) = zΓ(z).
Ainsi, aux entiers, elle retrouve exactement les factorielles avec un décalage : Γ(4) vaut 3!, donc 6. Entre ces repères, la fonction donne aussi des valeurs, dont Γ(1/2) = √π.
Définition
La fonction gamma, notée Γ, associe une valeur à un nombre complexe, sauf en zéro et aux entiers négatifs, où elle possède des pôles. Pour lire sa définition, on part de l’entrée z. Sa partie réelle sert de critère : lorsqu’elle est strictement positive, l’intégrale impropre converge absolument et peut définir Γ. Dans cette intégrale, t est la variable réelle d’intégration :
. On obtient ainsi une fonction holomorphe dans ce demi-plan. Le prolongement présenté plus loin étendra ensuite Γ au-delà du domaine où cette intégrale la définit.
La relation fonctionnelle relie deux entrées séparées d’une unité. Pour tout entier naturel n, elle conduit à Γ(n + 1) = n! : la fonction gamma généralise donc la factorielle. Elle donne aussi la valeur remarquable Γ(1/2) = √π.
Un prolongement méromorphe étend Γ à tout le plan complexe, sauf en zéro et aux entiers négatifs, où elle possède des pôles simples. Pour z non entier, la formule de réflexion relie enfin les valeurs aux entrées z et 1 − z : .
De quoi c'est fait
La définition intégrale réunit cinq éléments. Le nombre complexe z est l’entrée. Le nombre réel t parcourt l’intervalle de 0 à +∞. La puissance tz−1 dépend de z, tandis que le facteur e−t décroît lorsque t augmente. L’intégrale additionne les contributions de leur produit sur tout cet intervalle.
Ces éléments ne sont pas indépendants. La condition sur la partie réelle de z rend l’intégrale absolument convergente, et l’intégrale ainsi obtenue définit Γ dans ce demi-plan. La relation Γ(z + 1) = zΓ(z) transmet ensuite une valeur d’une entrée à la suivante.
Le prolongement méromorphe appartient aussi à la structure de la fonction : il étend son domaine au-delà de l’intégrale initiale, tout en laissant des pôles simples en zéro et aux entiers négatifs. Ces données suffisent à calculer les valeurs entières et à relier certaines valeurs symétriques.
Un exemple, pas à pas
Calculons Γ(4). Les données sont l’entrée 4, la relation Γ(n + 1) = n! pour un entier naturel n et la définition de 3! comme produit 3 × 2 × 1.
1. Identifier l’entier : 4 = 3 + 1, donc n = 3.
2. Appliquer la correspondance avec la factorielle : Γ(4) = 3!.
3. Effectuer le produit : 3! = 3 × 2 × 1 = 6. Le résultat est donc Γ(4) = 6. Pour le contrôler, la relation fonctionnelle donne Γ(4) = 3Γ(3), tandis que Γ(3) = 2! = 2 ; on retrouve bien 3 × 2 = 6.
Les premières entrées entières rendent visible le décalage constant entre l’argument de Γ et celui de la factorielle.
En pratique
Pour une entrée entière positive, la correspondance Γ(n + 1) = n! ramène le calcul à une factorielle. À l’entrée 4, on choisit donc directement 3! plutôt que l’intégrale impropre.
Pour une entrée de partie réelle strictement positive qui n’est pas un entier, la définition intégrale fournit la valeur de référence. Dans le cas 1/2, elle s’emploie parce que la partie réelle de 1/2 est strictement positive, et la valeur Γ(1/2) = √π sert de repère. La fiche ne propose pas ici de procédure numérique : son parcours de calcul reproductible est limité aux entrées entières positives.
Lorsque Γ(z) et Γ(z + 1) sont finies, la relation fonctionnelle évite de reprendre l’intégrale pour passer de l’une à l’autre : on multiplie Γ(z) par z. Lorsque deux entrées sont z et 1 − z, avec z ∉ ℤ, la formule de réflexion donne plutôt une relation directe entre leurs valeurs.
À ne pas confondre
Avec la factorielle. La factorielle n! porte ici sur un entier naturel n, tandis que Γ reçoit aussi des entrées non entières et complexes. Le test décisif est le décalage : à l’entier 4, la fonction gamma vaut Γ(4) = 3! = 6, et non 4! = 24.
Limites et pièges
Hors du demi-plan initial. L’intégrale donnée ne définit Γ que lorsque la partie réelle de z est strictement positive. Si cette condition échoue, il faut employer le prolongement méromorphe plutôt que présenter la même intégrale comme convergente.
En zéro et aux entiers négatifs. Les entrées 0, −1, −2… sont des pôles simples : Γ n’y prend pas de valeur finie. La relation fonctionnelle ne doit donc pas être utilisée comme si elle supprimait ces singularités.
Dans la formule de réflexion. Lorsque z est entier, sin(πz) vaut zéro et le quotient écrit à droite n’est pas une valeur finie ordinaire. Il faut alors tenir compte des pôles concernés, plutôt que remplacer mécaniquement z dans la formule.
Pour aller plus loin
Pour approfondir, comparez les deux démarches déjà présentées : le calcul exact de Γ(4) par la factorielle et l’orientation numérique pour Γ(1/2) par l’intégrale. Pour chaque entrée, relevez le critère qui autorise la méthode et le contrôle disponible.
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