intégrale eulérienne

Entre 0 et 1, dessinons la courbe de hauteur t(1−t)². L'aire située sous cette courbe vaut 1/12 : c'est un exemple de fonction bêta. Une intégrale eulérienne transforme ainsi une expression continue en une valeur précise.

La seconde famille, appelée fonction gamma, prolonge le calcul des factorielles. Aux entiers positifs, elle retrouve 1, 1, 2, 6… avec un décalage d'un rang : Γ(4) vaut 3!, donc 6.

Les intégrales eulériennes regroupent deux familles. Dans les deux cas, la variable t parcourt un intervalle et l'intégrale associe une valeur aux paramètres choisis. La première espèce est la fonction bêta. Pour deux paramètres réels x et y strictement positifs, elle se définit par :

La seconde espèce est la fonction gamma. Pour un nombre complexe z dont la partie réelle est strictement positive, elle est donnée par $Gamma(z)=in{t}_0^{+infty}{t}^{z-1}{e}^{-t},dt\backslash \backslash Gamma(z)=\backslash \backslash int\_0^\{+\backslash \backslash infty\}t^\{z-1\}e^\{-t\}\backslash \backslash ,dt$. Cette intégrale est impropre, car son intervalle se prolonge jusqu'à +∞. Pour tout entier n au moins égal à 1, la relation Γ(n) = (n−1)! généralise la factorielle avec un décalage d'une unité. La fonction bêta intervient notamment dans la distribution bêta et en combinatoire ; la fonction gamma intervient en analyse, en physique et en statistique.

Calculons la fonction bêta pour les paramètres x = 2 et y = 3. Les données sont l'intervalle [0,1], l'exposant x−1 = 1 et l'exposant y−1 = 2. L'intégrande est donc t(1−t)².

1. Développons l'intégrande : t(1−t)² = t−2t²+t³.
2. Intégrons chaque terme entre 0 et 1.3. Le résultat exact est donc B(2,3) = 1/12.

Le contrôle utilise la relation entre les deux familles : Γ(2) = 1!, Γ(3) = 2! et Γ(5) = 4!. Ainsi, Γ(2)Γ(3)/Γ(5) = (1×2)/24 = 1/12, ce qui retrouve exactement le résultat de l'intégration. La courbe associée montre que cette valeur est l'aire positive sous t(1−t)² sur [0,1].

En probabilités, la fonction bêta intervient avec la distribution bêta. On la privilégie lorsque les paramètres et l'intégrale portent sur l'intervalle [0,1], plutôt que sur un intervalle allant jusqu'à l'infini.

Pour prolonger une factorielle hors des seuls entiers positifs, on emploie la fonction gamma. Le contrôle immédiat consiste à revenir à un entier n : la valeur obtenue doit alors coïncider avec (n−1)!.

Dans un calcul, les bornes permettent déjà de reconnaître la famille : [0,1] signale la forme bêta, tandis que [0,+∞[ signale la forme gamma donnée ici. Il faut ensuite vérifier les conditions sur les paramètres avant d'appliquer la formule.

Fonction bêta et distribution bêta. La fonction bêta est l'intégrale B(x,y), donc une valeur dépendant de deux paramètres. La distribution bêta est un objet de probabilités dans lequel cette fonction intervient. La présence d'une variable aléatoire ou d'une probabilité indique la distribution, pas la seule intégrale.

Fonction gamma et factorielle. Elles coïncident sur les entiers positifs avec un décalage : Γ(n) = (n−1)!. Ainsi, Γ(4) = 3! = 6, et non 4! = 24. La fonction gamma s'applique aussi à des réels et à des complexes de partie réelle positive dans sa définition intégrale.

Paramètre nul ou négatif dans la fonction bêta. La définition intégrale donnée exige x > 0 et y > 0. Si l'un des paramètres vaut 0, cette condition échoue ; il ne faut donc pas appliquer directement l'intégrale sur [0,1].

Partie réelle non positive dans la fonction gamma. L'intégrale jusqu'à +∞ est donnée pour Re(z) > 0. Si Re(z) ≤ 0, cette représentation intégrale ne fournit pas la définition annoncée ici ; il faut employer un prolongement adapté, qui dépasse ce cadre.

Décalage de la factorielle. Le cas charnière n = 1 donne Γ(1) = 0! = 1. Écrire Γ(n) = n! produit donc une erreur dès n = 2 : Γ(2) vaut 1, alors que 2! vaut 2.

Intégrale impropre. La borne +∞ de la fonction gamma n'est pas un nombre à substituer dans une primitive. Elle indique un passage à la limite ; avant tout calcul, il faut conserver la condition Re(z) > 0 qui accompagne cette représentation.

La fonction bêta permet d'approfondir la première espèce, ses deux paramètres et son intégrale sur [0,1].

La fonction gamma développe la seconde espèce et la relation qui prolonge la factorielle.