Bohr-Mollerup (théorème de)
Le théorème de Bohr-Mollerup caractérise la fonction gamma de Euler comme l'unique fonction définie sur les réels strictement positifs qui vérifie simultanément : elle prend la valeur 1 en 1, elle satisfait la relation fonctionnelle f(x+1) = x × f(x), et elle est log-convexe (son logarithme est une fonction convexe). Ce théorème fournit ainsi une axiomatisation élégante de la fonction factorielle étendue aux réels, sans recourir à la définition intégrale. La log-convexité est la condition clé qui assure l'unicité.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Énoncer les trois hypothèses du théorème.
- Expliquer pourquoi la log-convexité assure l'unicité.
- Calculer Γ(1) à Γ(5) avec la relation de récurrence.
- Repérer pourquoi la récurrence seule ne suffit pas.
En clair
La factorielle donne 4! = 24 en multipliant 1, 2, 3 et 4. Mais que pourrait signifier une factorielle entre deux entiers, par exemple en 3,5 ? La fonction gamma prolonge cette suite sans laisser le choix arbitraire entre les valeurs entières.
Le théorème de Bohr-Mollerup fixe trois garde-fous : partir de 1, reproduire le passage d'un entier au suivant et imposer que le logarithme reste convexe sur tout le domaine. Ensemble, ces exigences sélectionnent une seule fonction.
Définition
Le théorème de Bohr-Mollerup est un théorème d'existence et d'unicité sur les nombres réels strictement positifs. Il caractérise la fonction gamma d'Euler, notée par la lettre grecque Γ, à partir de propriétés internes plutôt qu'à partir d'une intégrale. Pour tout réel positif x, la valeur Γ(x+1) s'obtient en multipliant Γ(x) par x. La normalisation Γ(1) = 1 entraîne alors Γ(n) = (n−1)! pour chaque entier n au moins égal à 1.
La troisième condition est la log-convexité : le logarithme de la fonction doit être convexe. Si x et y sont deux réels positifs et si le poids t est compris entre 0 et 1, cette condition peut s'écrire . Elle interdit les oscillations que la seule relation de récurrence laisserait possibles entre deux entiers.
Le résultat affirme que la fonction gamma satisfait ces trois exigences et qu'aucune autre fonction positive sur ce domaine ne les satisfait toutes. La log-convexité ne sert donc pas seulement à décrire la forme de Γ : elle rend le prolongement de la factorielle unique.
Le principe
Soit f une fonction à valeurs strictement positives, définie pour tout réel x strictement positif. Si f vaut 1 en 1, si son logarithme est convexe et si elle vérifie la relation suivante pour tout x de son domaine,
alors f est la fonction gamma d'Euler. Réciproquement, la fonction gamma possède ces trois propriétés. Les hypothèses donnent ainsi à la fois une reconnaissance de Γ et une preuve de l'unicité du prolongement.
Quand l'utiliser
Le domaine doit être l'ensemble des réels strictement positifs, et les valeurs de la fonction doivent elles-mêmes être positives afin que leur logarithme soit défini. Trois contrôles sont nécessaires : la valeur en 1 est exactement 1 ; la relation f(x+1) = x f(x) vaut pour chaque réel positif x ; le logarithme de f est convexe sur tout le domaine. La conclusion obtenue est l'égalité de f avec Γ sur tous les réels positifs, pas seulement aux entiers.
La récurrence et la valeur initiale ne suffisent pas. Par exemple, multiplier Γ(x) par conserve la positivité, la valeur en 1 et la relation de décalage, car le facteur ajouté est de période 1. Le logarithme obtenu oscille et n'est pas convexe sur tout le domaine. Dans ce contre-cas, il faut contrôler la log-convexité avant de conclure.
Un exemple, pas à pas
On veut retrouver les valeurs de Γ aux cinq premiers entiers positifs. Les données sont Γ(1) = 1 et la relation Γ(x+1) = x Γ(x).
1. Avec x = 1, Γ(2) = 1 × Γ(1) = 1.
2. Avec x = 2, Γ(3) = 2 × Γ(2) = 2.
3. Avec x = 3, Γ(4) = 3 × Γ(3) = 6.
4. Avec x = 4, Γ(5) = 4 × Γ(4) = 24.
2. Avec x = 2, Γ(3) = 2 × Γ(2) = 2.
3. Avec x = 3, Γ(4) = 3 × Γ(3) = 6.
4. Avec x = 4, Γ(5) = 4 × Γ(4) = 24.
Le résultat est donc Γ(5) = 24 = 4!. Le contrôle consiste à remonter d'un cran : 24 ÷ 4 = 6, qui est bien Γ(4). Ce calcul vérifie la récurrence aux entiers. La log-convexité est encore nécessaire pour imposer les valeurs situées entre eux.
En pratique
Pour identifier une fonction présentée comme un prolongement de la factorielle, on contrôle son domaine, sa valeur en 1, sa relation de décalage et sa log-convexité. Une définition intégrale reste préférable si l'objectif est de calculer directement une valeur numérique.
Pour retrouver les valeurs entières, la récurrence suffit : chaque pas multiplie par l'entier précédent. Le théorème devient indispensable lorsque l'on demande pourquoi le prolongement aux réels positifs est celui-là et non une courbe oscillante passant par les mêmes valeurs entières.
Dans une preuve d'unicité, la convexité de log f encadre les valeurs entre deux entiers. Sans ce contrôle global de forme, il faut ajouter une autre hypothèse d'unicité ou accepter plusieurs prolongements.
À ne pas confondre
Fonction gamma et théorème de Bohr-Mollerup. La fonction gamma est l'objet caractérisé ; le théorème est le résultat d'unicité. Écrire Γ(5) = 24 utilise la fonction, tandis que vérifier trois hypothèses pour conclure f = Γ utilise le théorème.
Convexité et log-convexité. Une fonction est log-convexe lorsque son logarithme est convexe, ce qui est un critère différent de la convexité de la fonction elle-même. Dans Bohr-Mollerup, le test porte précisément sur log f, avec f strictement positive.
Limites et pièges
À zéro et sur les réels négatifs. Le théorème porte sur x > 0. La relation de récurrence ne permet donc pas d'inclure zéro dans ce domaine. Pour étudier Γ au-delà des réels positifs, il faut employer un prolongement adapté et préciser son domaine.
Aux seuls entiers. La suite 1, 1, 2, 6, 24 confirme la relation factorielle, mais elle ne détermine pas les valeurs intermédiaires. Le symptôme du piège est une preuve qui ne teste f qu'en 1, 2, 3, 4 et 5 ; il faut vérifier les hypothèses sur tout réel positif.
Récurrence seule. Des facteurs positifs de période 1 peuvent modifier une solution entre les entiers sans changer f(x+1) = x f(x). Si une courbe ondule entre deux entiers, la relation reste possible ; il faut alors tester la convexité de son logarithme.
Pour aller plus loin
La fiche fonction gamma présente l'objet que le théorème caractérise et prolonge la lecture au-delà de son seul critère d'unicité.
La fiche concept de convexité éclaire la propriété géométrique appliquée ici au logarithme de la fonction.
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