fonction digamma

Sur la courbe de la fonction gamma Γ, deux informations se lisent en un point : la valeur de Γ et la pente donnée par sa dérivée. La fonction digamma compare cette pente à la valeur elle-même. Elle décrit donc une variation relative plutôt qu'une variation brute.

Son autre atout est une règle de déplacement simple. Quand l'entrée x et l'entrée suivante x + 1 évitent les pôles, la valeur de Ψ varie de 1/x : elle augmente si x est positif et diminue si x est négatif. Cette règle relie des valeurs successives sans recommencer tout le calcul.

La fonction digamma, aussi appelée fonction psi, est la dérivée logarithmique de la fonction gamma. Si la lettre z désigne une variable complexe, sa définition s'écrit $\mathrm{\Psi }(z)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\prime }}(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}=\frac{d}{dz}\ln \mathrm{\Gamma }(z)\backslash Psi(z)=\backslash frac\{\backslash Gamma\text{'}(z)\}\{\backslash Gamma(z)\}=\backslash frac\{d\}\{dz\}\backslash ln\backslash Gamma(z)$. Le quotient compare la dérivée Γ′ à la valeur Γ au même point.

La fonction Ψ se prolonge en une fonction méromorphe sur l'ensemble ℂ des nombres complexes. Ses singularités sont des pôles simples en 0, −1, −2, −3, et ainsi de suite. Hors des pôles concernés, elle vérifie la relation $\mathrm{\Psi }(z+1)=\mathrm{\Psi }(z)+\frac{1}{z}\backslash Psi(z+1)=\backslash Psi(z)+\backslash frac\{1\}\{z\}$. Cette identité permet de transporter une valeur connue d'une entrée à la suivante.

Pour une variable réelle positive x qui devient grande, son comportement dominant est donné par $\mathrm{\Psi }(x)\sim \ln x-\frac{1}{2x}\backslash Psi(x)\backslash sim\backslash ln\; x-\backslash frac\{1\}\{2x\}$. Le symbole ∼ exprime ici une équivalence asymptotique, non une égalité exacte. La fonction digamma intervient notamment dans le calcul de certaines séries et intégrales d'analyse spéciale.

La fonction digamma réunit cinq éléments. La fonction gamma Γ fournit la valeur de référence ; sa dérivée Γ′ en donne la variation locale ; leur quotient Γ′/Γ transforme cette variation en variation relative. À valeurs finies, Ψ est définie sur ℂ privé de 0, −1, −2, etc. ; elle est méromorphe sur ℂ. Enfin, la récurrence relie deux entrées distantes de 1, tandis que le développement asymptotique décrit les grandes entrées réelles positives.

Le quotient définit la nature de Ψ ; la récurrence et l'asymptotique sont des propriétés qui servent à la calculer ou à l'approcher. Un tracé particulier, une échelle ou une couleur ne font pas partie de sa définition.

Comparons Ψ(1), Ψ(2) et Ψ(3) sans supposer connue la valeur de Ψ(1). Les données sont les entrées 1, 2 et 3, ainsi que la relation $\mathrm{\Psi }(x+1)=\mathrm{\Psi }(x)+\frac{1}{x}\backslash Psi(x+1)=\backslash Psi(x)+\backslash frac\{1\}\{x\}$.

1. À partir de x = 1, la récurrence donne $\mathrm{\Psi }(2)=\mathrm{\Psi }(1)+1\backslash Psi(2)=\backslash Psi(1)+1$.

2. À partir de x = 2, elle donne ensuite $\mathrm{\Psi }(3)=\mathrm{\Psi }(2)+\frac{1}{2}\backslash Psi(3)=\backslash Psi(2)+\backslash frac\{1\}\{2\}$.

3. En remplaçant Ψ(2) par le résultat précédent, on obtient $\mathrm{\Psi }(3)=\mathrm{\Psi }(1)+1+\frac{1}{2}=\mathrm{\Psi }(1)+\frac{3}{2}\backslash Psi(3)=\backslash Psi(1)+1+\backslash frac\{1\}\{2\}=\backslash Psi(1)+\backslash frac\{3\}\{2\}$. La figure matérialise ces deux écarts successifs sans fixer la hauteur absolue de Ψ(1).

4. Le résultat exact est donc $\mathrm{\Psi }(3)-\mathrm{\Psi }(1)=\frac{3}{2}\backslash Psi(3)-\backslash Psi(1)=\backslash frac\{3\}\{2\}$. Pour le contrôler, on additionne directement les deux accroissements : 1 + 1/2 = 3/2.

Pour relier des valeurs séparées par un nombre entier, la récurrence est le premier outil à essayer. Chaque déplacement d'une unité ajoute un inverse connu ; elle est préférable à l'asymptotique lorsque l'on cherche une relation exacte.

Pour une grande entrée réelle positive, le développement asymptotique fournit une approximation courte à partir du logarithme. Il convient lorsque l'ordre de grandeur suffit ; la récurrence reste préférable si une valeur de départ exploitable est disponible.

Dans certaines séries et intégrales d'analyse spéciale, Ψ offre une écriture compacte de la dérivée logarithmique de Γ. Le geste utile consiste alors à reconnaître le quotient Γ′/Γ avant d'employer les propriétés de la fonction digamma.

Fonction gamma Γ. Elle fournit la fonction de départ, tandis que la fonction digamma Ψ compare sa dérivée à sa valeur. Le quotient Γ′/Γ est sa forme de définition caractéristique, mais Ψ possède aussi des représentations équivalentes, notamment sous forme de séries ou à l'aide de sa récurrence.

Dérivée Γ′. La dérivée gamma mesure une variation brute. La digamma est une variation relative, car elle divise Γ′ par Γ. Ainsi, Γ′(z) et Ψ(z) ne sont pas interchangeables.

Logarithme de Γ. La digamma n'est pas ln Γ, mais sa dérivée. Si l'expression n'a pas été dérivée par rapport à la variable, elle désigne le logarithme de la fonction gamma et non Ψ.

Aux entiers non positifs. En 0, −1, −2, etc., Ψ possède un pôle simple : sa valeur n'y est pas finie. Il faut exclure ces entrées d'un calcul ordinaire et étudier le comportement au voisinage du pôle.

Dans la récurrence. Le terme 1/x interdit de substituer x = 0. Plus généralement, la relation ne fournit une égalité de valeurs finies que lorsque les deux membres évitent leurs pôles.

Pour les grandes entrées. Le signe ∼ ne signifie pas que Ψ(x) est exactement égale à ln x − 1/(2x). Cette forme s'emploie directement lorsque x est réel, positif et grand ; elle ne doit pas servir comme valeur exacte à petite entrée.

Dans le plan complexe. Une écriture asymptotique avec ln z demande de préciser la branche du logarithme et la manière dont z s'éloigne des pôles. Sans ces conventions, mieux vaut rester au cas réel positif énoncé explicitement.

La fonction gamma permet de revenir à la fonction dont Ψ mesure la variation logarithmique et de mieux situer le quotient Γ′/Γ.