Dérivée logarithmique

Imaginez une quantité qui est le produit de plusieurs facteurs variables. Sa dérivée ordinaire oblige à traiter chaque facteur à tour de rôle. En divisant cette dérivée par la quantité elle-même, le produit se transforme en somme : chaque facteur apporte sa propre variation relative.

Ce rapport est la dérivée logarithmique. Il indique la vitesse de variation d'une fonction rapportée à sa valeur, aux points où cette valeur n'est pas nulle.

Soit f une fonction réelle dérivable sur un intervalle et soit x un point où f(x) n'est pas nul. La dérivée logarithmique de f en x est le quotient de sa dérivée f'(x) par sa valeur f(x) : $\frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{f(x)}\backslash frac\{f\text{'}(x)\}\{f(x)\}$. Sur tout intervalle où f garde une valeur strictement positive, ce quotient est la dérivée de ln(f). S'il est strictement négatif, il est la dérivée de ln|f|.

Pour deux fonctions dérivables u et v qui ne s'annulent pas au point considéré, le produit uv vérifie l'identité Cette addition des contributions explique l'intérêt du procédé pour les produits et les puissances.

Dans le plan complexe, si f est méromorphe et non identiquement nulle sur le domaine considéré, le quotient f'/f est défini là où f est finie et non nulle. Près d'un zéro d'ordre m, il a un pôle simple de résidu m ; près d'un pôle d'ordre m de f, son résidu vaut −m. Soit C un contour fermé simple, orienté positivement, qui borde une région où f est méromorphe et ne rencontre aucun zéro ni pôle. Si N_Z et N_P désignent les nombres de zéros et de pôles intérieurs, comptés avec leurs multiplicités, alors

Considérons la fonction réelle f définie par $f(x)=(x^2+1{)}^{3}f(x)=(x^2+1)^3$. Elle est dérivable et strictement positive pour tout nombre réel x. Le facteur de base est la fonction u définie par u(x) = x² + 1, répétée trois fois ; sa dérivée vaut u'(x) = 2x. Le point choisi pour le contrôle numérique est x = 1.

1. Pour chacun des trois facteurs, la contribution logarithmique est $\frac{u^{\mathrm{\prime }}(x)}{u(x)}=\frac{2x}{x^2+1}\backslash frac\{u\text{'}(x)\}\{u(x)\}=\backslash frac\{2x\}\{x^2+1\}$.

2. Les trois contributions s'ajoutent : Une représentation des trois contributions souligne leur rôle identique dans la somme.

3. Au point x = 1, la dérivée logarithmique vaut 6/(1 + 1) = 3. La valeur 3 signifie qu'en ce point la dérivée de f est trois fois la valeur de f.

4. Un contrôle direct donne $f^{\mathrm{\prime }}(x)=6x(x^2+1{)}^{2}f\text{'}(x)=6x(x^2+1)^2$. En divisant par $f(x)=(x^2+1{)}^{3}f(x)=(x^2+1)^3$, on retrouve 6x/(x² + 1), puis 3 lorsque x = 1.

Pour dériver un long produit ou une puissance comme (x² + 1)³, on additionne les variations relatives des facteurs. Une dérivation directe reste préférable pour une somme, car la dérivée logarithmique ne la décompose pas terme à terme.

Pour comparer la croissance d'une fonction à sa propre taille, le quotient f'/f donne un taux instantané relatif. La dérivée ordinaire f' convient mieux lorsque seule la variation absolue importe.

En analyse complexe, on intègre f'/f sur un contour fermé simple et orienté positivement pour obtenir le nombre de zéros moins le nombre de pôles à l'intérieur. Cette méthode exige que le contour lui-même n'en rencontre aucun.

Dérivée logarithmique et dérivée ordinaire. La première est le quotient f'/f, tandis que la seconde est f'. Pour f(x) = 2e^x, elles valent respectivement 1 et 2e^x : le facteur 2 disparaît seulement dans le quotient.

Dérivée logarithmique et dérivation logarithmique. La dérivée logarithmique est un objet, le quotient f'/f. La dérivation logarithmique est une méthode de calcul : on prend un logarithme, on dérive, puis on isole la dérivée cherchée. Une puissance ou un produit compliqué peut motiver la méthode, sans changer la définition du quotient.

Zéro de la fonction. Si f(x) = 0, le quotient f'(x)/f(x) n'est pas défini. Il faut travailler sur les intervalles qui évitent ce zéro ou étudier le comportement du quotient à son voisinage.

Signe dans le cadre réel. Écrire ln(f) exige f > 0. Sur un intervalle où f est négative et ne s'annule pas, la bonne identité réelle utilise ln|f|, dont la dérivée reste f'/f.

Contour complexe mal placé. Si le contour traverse un zéro ou un pôle de f, l'intégrale usuelle de f'/f sur ce contour n'est pas définie. Il faut déformer le contour pour éviter ces points avant d'appliquer le théorème des résidus.

Multiplicités. Un zéro double compte pour 2, et non pour 1 ; un pôle d'ordre 2 compte pour −2 dans le bilan. Oublier les ordres fausse donc le comptage, même si les positions des points sont correctes.

La fiche fonction méromorphe précise le cadre où zéros et pôles coexistent et où le quotient f'/f devient un outil naturel.

Le théorème des résidus explique pourquoi l'intégrale du quotient sur un contour restitue le bilan des multiplicités.