AnalyseNotion · Glossaire
Argument (principe de)
Le principe de l’argument relie les tours que l’image d’un contour accomplit autour de zéro au bilan des zéros et des pôles de la fonction à l’intérieur. Il s’applique lorsqu’une fonction méromorphe non identiquement nulle est définie sur une région contenant un contour fermé simple et son intérieur. Ce contour doit être suffisamment régulier, orienté positivement et ne passer par aucun zéro ni pôle de la fonction. La variation totale de l’argument, divisée par 2π, est alors égale au nombre de zéros moins le nombre de pôles situés à l’intérieur, comptés avec leurs multiplicités.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter la variation de l’argument comme un nombre algébrique de tours.
- Calculer le bilan entre zéros et pôles, avec leurs multiplicités.
- Vérifier le principe sur la fonction z² et le cercle unité.
- Reconnaître les cas où le contour doit être déplacé ou réinterprété.
En clair
Imaginez qu’un point parcoure un contour fermé et que la fonction transforme sa position en un autre point du plan complexe. On observe alors combien de tours l’image accomplit autour de zéro.
Ce nombre de tours révèle un bilan caché à l’intérieur du contour : chaque zéro ajoute des tours et chaque pôle en retire, en tenant compte de leur multiplicité. Le principe de l’argument transforme ainsi un mouvement suivi sur le bord en un comptage de points situés dedans.
Définition
Soit une fonction méromorphe f, non identiquement nulle, c’est-à-dire holomorphe sauf en des pôles isolés, sur un domaine contenant un contour fermé simple, son bord et son intérieur. On suppose le contour parcouru dans le sens positif, par morceaux régulièrement, et qu’aucun zéro ni pôle de f ne se trouve sur ce contour.
Le nombre N désigne les zéros de f à l’intérieur, comptés avec leur multiplicité, et P ses pôles, également comptés avec leur ordre. La variation totale d’un argument continu de f(z) le long du parcours, notée ici par le symbole delta, vérifie :
Le quotient mesure le nombre algébrique de tours de l’image du contour autour de l’origine.
Le même bilan s’écrit à l’aide d’une intégrale de contour :
Cette forme découle du théorème des résidus, car le quotient de la dérivée de f par f porte un résidu égal à la multiplicité d’un zéro et à l’opposé de l’ordre d’un pôle.
Un exemple, pas à pas
Prenons la fonction f définie par et le cercle unité parcouru une fois dans le sens trigonométrique. Les données sont les suivantes : le contour est paramétré par , avec le paramètre réel t allant de 0 à 2π ; le seul zéro est 0, de multiplicité 2 ; la fonction n’a aucun pôle.
1. Remplaçons z par le point courant du contour : .
2. Lorsque t passe de 0 à 2π, l’argument de l’image passe de 0 à 4π.
3. La variation totale vaut donc exactement 4π.
4. Le quotient par 2π vaut 2.
2. Lorsque t passe de 0 à 2π, l’argument de l’image passe de 0 à 4π.
3. La variation totale vaut donc exactement 4π.
4. Le quotient par 2π vaut 2.
Le principe donne donc . Le contrôle direct retrouve le même résultat : le polynôme z2 possède à l’intérieur le seul zéro 0, compté deux fois, et aucun pôle. La figure rend visibles les deux tours accomplis par l’image pendant un seul tour du contour.
En pratique
Pour compter les zéros et les pôles contenus dans une région, on peut suivre l’argument de la fonction sur son bord. Cette voie est utile lorsque les points intérieurs sont difficiles à localiser séparément, mais que les valeurs sur le contour restent accessibles.
Quand une factorisation explicite donne déjà tous les zéros et tous les pôles, le comptage direct est plus simple. Le principe de l’argument fournit alors un contrôle indépendant : le bilan intérieur doit coïncider avec le nombre algébrique de tours observé sur le bord.
Dans un calcul par le théorème des résidus, on examine le quotient de la dérivée de la fonction par la fonction elle-même. Ce choix convient précisément lorsque l’on cherche le bilan entre zéros et pôles, plutôt que leurs positions individuelles.
À ne pas confondre
L’argument d’un nombre complexe. C’est un angle associé à un nombre complexe non nul. Le principe de l’argument, lui, est un théorème qui suit la variation de cet angle le long de tout un contour. Pour un point isolé, on cherche un angle ; pour un parcours fermé, on compte une variation totale. Voir Argument d'un nombre complexe.
Le théorème des résidus. Celui-ci calcule une intégrale de contour à partir des résidus des singularités intérieures. Le principe de l’argument en est une application particulière au quotient de la dérivée d’une fonction par cette fonction. Une intégrale générale appelle le théorème des résidus ; un bilan de zéros et de pôles appelle le principe de l’argument.
Limites et pièges
Zéro ou pôle sur le contour. La valeur de la fonction y est nulle ou singulière, donc son argument ne peut pas être suivi continûment sur tout le parcours. Il faut déplacer le contour ou traiter séparément ce point avant d’appliquer le théorème.
Orientation inversée. Un parcours dans le sens horaire change le signe de la variation totale. Pour conserver la formule donnée, il faut orienter positivement le contour ; sinon, le résultat obtenu est l’opposé de N − P.
Multiplicités oubliées. Un zéro double contribue 2, et non 1 ; un pôle d’ordre 3 contribue −3. Dans l’exemple, le seul point zéro est 0, mais son bilan vaut 2 parce qu’il est double.
Contour non simple. Si le parcours se recoupe ou entoure certaines zones plusieurs fois, parler seulement de points « à l’intérieur » devient insuffisant. Il faut alors pondérer chaque zéro et chaque pôle par l’indice du contour autour de ce point, ou revenir à un contour simple adapté.
Pour aller plus loin
La notion de fonction méromorphe précise le cadre dans lequel zéros ordinaires et pôles isolés peuvent être comptés ensemble.
L’Argument d'un nombre complexe explique l’angle dont la variation totale est suivie sur le contour.
Le théorème des résidus donne le mécanisme intégral qui transforme le quotient de la dérivée par la fonction en bilan des multiplicités.
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