GéométrieNotion · Glossaire
hypothèse de Riemann
L'hypothèse de Riemann, parfois appelée conjecture de Riemann, est l'une des conjectures les plus célèbres et les plus importantes des mathématiques. Elle porte sur les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ζ(s), définie pour un nombre complexe s = σ + it, et s'énonce ainsi : tous les zéros non triviaux de ζ(s) ont leur partie réelle égale à 1/2, autrement dit ils sont tous situés sur la droite critique d'équation σ = 1/2 dans le plan complexe.
La fonction zêta de Riemann est définie pour σ > 1 par la série ζ(s) = Σ 1/nˢ, puis prolongée analytiquement à l'ensemble du plan complexe privé du point s = 1. Outre ses zéros triviaux en s = −2, −4, −6, …, la fonction admet des zéros non triviaux dans la bande critique 0 < σ < 1, et l'hypothèse affirme qu'ils se concentrent tous sur l'axe σ = 1/2.
Formulée par Bernhard Riemann en 1859, cette conjecture figure parmi les vingt-trois problèmes proposés par David Hilbert en 1900 comme programme de travail pour le XXe siècle — c'est le huitième d'entre eux. Elle appartient également à la liste des sept problèmes du millénaire établie en 2000, dont la résolution est assortie d'un prix d'un million de dollars. À ce jour, elle demeure non résolue malgré des vérifications numériques portant sur des milliards de zéros.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer les zéros non triviaux dans la bande et sur la droite critiques.
- Distinguer zéros triviaux, zéros non triviaux et simples points de la droite critique.
- Comprendre pourquoi des milliards de vérifications numériques ne constituent pas une preuve générale.
En clair
Imaginez chaque nombre complexe comme un point repéré horizontalement et verticalement. Certains points annulent la fonction zêta de Riemann : sa valeur y devient zéro. Les zéros dits non triviaux occupent une bande comprise entre les repères 0 et 1.
L'hypothèse de Riemann affirme qu'ils se rangent tous exactement au milieu de cette bande, sur la droite critique de repère 1/2. Des milliards de zéros ont été vérifiés, mais aucun raisonnement général ne prouve encore cet alignement pour tous.
Définition
L'hypothèse de Riemann, ou conjecture de Riemann, porte sur la fonction zêta de Riemann, notée ζ. Son argument est un nombre complexe noté s, dont la partie réelle est notée σ et la partie imaginaire t : . Pour σ supérieur à 1, la fonction est donnée par la série . Elle est ensuite prolongée analytiquement au plan complexe, sauf au point s = 1.
Un zéro est une valeur de s pour laquelle ζ(s) = 0. Les nombres −2, −4, −6, … sont les zéros triviaux. Les autres zéros sont dits non triviaux et se trouvent dans la bande critique, définie par . La figure matérialise cette bande et sa ligne médiane.
La conjecture affirme que chaque zéro non trivial a pour partie réelle 1/2 : . Formulée par Bernhard Riemann en 1859, elle est le huitième des vingt-trois problèmes proposés par David Hilbert en 1900. Elle compte aussi parmi les sept problèmes du millénaire établis en 2000, avec un prix d'un million de dollars pour sa résolution. Elle demeure non résolue malgré la vérification numérique de milliards de zéros.
Un exemple, pas à pas
On veut classer trois situations à partir de l'énoncé. Les données sont les suivantes : −2 est un zéro trivial ; tout zéro non trivial appartient à la bande 0 < σ < 1 ; l'hypothèse impose σ = 1/2 à chacun de ces zéros.
1. Prenez s = −2. La valeur figure dans la suite −2, −4, −6, … : elle correspond donc à un zéro trivial. L'hypothèse ne porte pas sur ce cas.
2. Prenez un point de la bande dont la partie réelle vaut σ = 1/3. Si l'hypothèse est vraie, ce point ne peut pas être un zéro non trivial, car 1/3 ≠ 1/2.
3. Prenez enfin un point dont la partie réelle vaut σ = 1/2. Il se trouve sur la droite critique, mais cette seule position ne garantit pas que ζ(s) = 0.
Le contrôle consiste à relire l'implication dans le bon sens : être un zéro non trivial imposerait σ = 1/2 ; avoir σ = 1/2 ne suffit pas, à soi seul, pour être un zéro.
En pratique
Pour lire l'énoncé, commencez par repérer le type de zéro. Si s vaut −2, −4, −6, …, il s'agit d'un zéro trivial ; sinon, la question de la bande critique devient pertinente.
Pour examiner un zéro annoncé comme non trivial, regardez sa partie réelle σ. Une valeur différente de 1/2 contredirait l'hypothèse ; la valeur 1/2 respecte sa condition, sans prouver à elle seule que le point est un zéro.
Pour évaluer une annonce de résolution, distinguez une vérification numérique d'une preuve générale. Même des milliards de cas conformes ne remplacent pas un raisonnement valable pour tous les zéros non triviaux.
À ne pas confondre
La fonction zêta et l'hypothèse de Riemann. La fonction ζ associe une valeur à un nombre complexe s. L'hypothèse est une affirmation sur l'emplacement de certains zéros de cette fonction. Écrire ζ(s) ne revient donc pas à supposer la conjecture vraie.
La bande critique et la droite critique. La bande regroupe les points dont la partie réelle vérifie 0 < σ < 1. La droite ne conserve que ceux pour lesquels σ = 1/2. Un point de partie réelle 1/3 appartient à la bande, mais pas à la droite.
Une conjecture et un résultat démontré. Une vérification sur de nombreux cas soutient l'hypothèse, mais ne la transforme pas en théorème. Le critère décisif reste une preuve couvrant tous les zéros non triviaux.
Limites et pièges
La série a un domaine précis. L'écriture ζ(s) = Σ 1/ns est donnée pour σ > 1. Dans le reste du plan complexe, on emploie son prolongement analytique, qui exclut le point s = 1.
La conjecture ne vise pas tous les zéros. Les valeurs −2, −4, −6, … sont déjà classées comme zéros triviaux. Il faut les écarter avant d'appliquer la condition σ = 1/2 aux zéros non triviaux.
La droite critique n'est pas un ensemble de zéros. Un point situé sur σ = 1/2 satisfait la localisation exigée, mais il faut encore vérifier que ζ(s) = 0. Confondre condition nécessaire et condition suffisante inverse le raisonnement.
Un très grand contrôle numérique reste fini. Les milliards de zéros déjà vérifiés ne couvrent pas tous les zéros non triviaux. Pour conclure, il faut une preuve générale, et non prolonger seulement la liste des cas testés.
Pour aller plus loin
fonction zêta de Riemann — Approfondir la fonction dont les zéros sont au cœur de la conjecture.
La fonction zêta et l'hypothèse de Riemann — Suivre ensemble la fonction et la question posée par l'hypothèse.
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