Apéry Roger

En 1978, Roger Apéry, qui poursuit sa carrière d'enseignant à Caen, résout un problème longtemps conjecturé. Il prouve que ζ(3), la valeur prise en 3 par la fonction zêta de Riemann, est irrationnelle.

Autrement dit, ce nombre ne peut pas s'écrire comme le quotient de deux nombres entiers. Le résultat marque durablement la théorie des nombres : ζ(3) est désormais appelée constante d'Apéry.

Roger Apéry (1916-1994) est un mathématicien français d'origine grecque. Après des études à Lille puis à Paris, il est reçu second à l'École normale supérieure en 1936. En 1939, il se classe premier ex æquo avec Jacqueline Ferrand à l'agrégation de mathématiques. Il soutient en 1947 une thèse en géométrie algébrique, dirigée par Paul Dubreil.

Nommé maître de conférences à Rennes, il poursuit ensuite toute sa carrière à Caen. Il y enseigne la géométrie algébrique et la théorie des nombres. Critique du formalisme bourbakiste, il s'intéresse aussi à l'analyse non standard. Il s'oppose à la réforme de l'enseignement des mathématiques.

Son résultat le plus célèbre date de 1978. Apéry démontre l'irrationalité de ζ(3), c'est-à-dire de la valeur de la fonction zêta de Riemann au nombre 3. Dire que ζ(3) est irrationnelle signifie qu'aucun quotient de deux nombres entiers ne lui est égal. Cette propriété, longtemps conjecturée avant sa démonstration, vaut à ζ(3) le nom de constante d'Apéry.

Partons de l'énoncé démontré par Roger Apéry en 1978 : « ζ(3) est irrationnelle ». Pour le relire pas à pas, il faut identifier la fonction, la valeur considérée et la portée exacte de la propriété annoncée.

1. La lettre ζ désigne ici la fonction zêta de Riemann. Le nombre placé entre parenthèses est l'entrée choisie : 3. L'écriture ζ(3) désigne donc la valeur prise par cette fonction en 3, et non la fonction entière.

2. Dire que cette valeur est irrationnelle revient à tester une possibilité précise : pourrait-elle être exactement égale à un quotient de deux nombres entiers ? Le résultat d'Apéry répond non : aucun quotient de deux entiers n'est égal à ζ(3).

3. Cette conclusion porte sur la nature de ζ(3). Elle ne fournit ni son écriture décimale, ni la méthode de la démonstration, ni une conclusion sur toutes les autres valeurs de la fonction zêta.

Pour refaire le contrôle, reprenez la phrase « ζ(3) est irrationnelle » et répondez à trois questions : quelle est la fonction, quelle valeur est étudiée et quelle écriture exacte est exclue ? Les réponses sont respectivement la fonction zêta de Riemann, sa valeur en 3 et tout quotient de deux nombres entiers. La frise replace ensuite ce résultat de 1978 après les jalons de 1936, 1939 et 1947.

Dans une histoire des mathématiques, le repère décisif est l'année 1978 : elle correspond à la démonstration par Apéry de l'irrationalité de ζ(3). Pour étudier la fonction dont cette valeur provient, la fiche sur la fonction zêta de Riemann est plus adaptée.

Pour identifier le parcours d'Apéry, associez chaque lieu à son rôle documenté : études à Lille puis Paris, poste à Rennes, carrière et enseignement à Caen. Si un lieu n'est pas relié à un événement par la source, ne lui attribuez pas ce rôle.

Pour lire ses positions intellectuelles, séparez ses travaux de ses prises de position. La géométrie algébrique, la théorie des nombres et l'analyse non standard relèvent de ses activités mathématiques ; la critique du formalisme bourbakiste et l'opposition à une réforme concernent ses choix intellectuels.

Roger Apéry et la constante d'Apéry. Roger Apéry est le mathématicien né en 1916 ; la constante d'Apéry est le nombre ζ(3). Une question biographique porte sur la personne, tandis qu'une question de valeur ou d'irrationalité porte sur le nombre.

La fonction zêta de Riemann et ζ(3). La première est une fonction ; ζ(3) est sa valeur au nombre 3. Le résultat de 1978 concerne précisément l'irrationalité de cette valeur, et non une propriété formulée ici pour toutes les valeurs de la fonction.

Une date, un résultat. L'année 1978 correspond à la démonstration de l'irrationalité de ζ(3). Elle ne date ni la conjecture antérieure ni l'adoption du nom « constante d'Apéry », que la source ne situe pas précisément.

Portée de la démonstration. Le fait établi est que ζ(3) est irrationnelle. Cette affirmation ne donne ni la méthode de preuve, ni une écriture décimale du nombre, ni un résultat sur les autres valeurs de la fonction zêta.

Chronologie professionnelle incomplète. La source nomme Rennes puis Caen, mais ne date pas ces nominations. Le symptôme d'un ajout fragile serait une année associée à ces postes ; il faut conserver leur ordre sans fabriquer de date.

fonction zêta de Riemann — Situer la fonction dont ζ(3) est la valeur devenue constante d'Apéry.

analyse non standard — Approfondir l'un des domaines auxquels Roger Apéry s'est intéressé.

La fonction zêta et l'hypothèse de Riemann — Replacer la fonction zêta dans un panorama mathématique plus large.