constante d'Apéry

Prenez les cubes des entiers : 1, 8, 27, 64, puis additionnez leurs inverses. Les premiers termes donnent 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64. Les fractions deviennent vite petites, mais leur somme continue de croître.

En poursuivant sans fin, cette somme se rapproche d'un nombre fixe, environ 1,2020569. Ce nombre est la constante d'Apéry. Aucun quotient de deux entiers ne lui est exactement égal : Roger Apéry a démontré cette irrationalité en 1977.

La fonction zêta de Riemann associe à tout nombre réel s strictement supérieur à 1 la somme des inverses des puissances s-ièmes des entiers positifs. La constante d'Apéry est sa valeur lorsque l'exposant s vaut 3. Si la lettre k désigne un entier positif, sa définition est :

La série converge : ses sommes partielles se rapprochent d'une limite finie, notée ζ(3), dont l'écriture décimale commence par 1,2020569. En 1977, Roger Apéry a démontré que cette limite est irrationnelle, donc qu'elle n'est le quotient d'aucune paire d'entiers dont le dénominateur est non nul. Ce résultat est le théorème d'Apéry. On ignore encore si ζ(3) est transcendante. Cette situation illustre une différence importante : les valeurs de la fonction zêta aux entiers pairs sont des multiples rationnels de puissances de π, tandis que ses valeurs aux entiers impairs supérieurs à 1 restent beaucoup moins bien comprises.

Approchons ζ(3) avec quatre termes. Les données sont les quatre premiers entiers positifs, 1, 2, 3 et 4, ainsi que leurs cubes, 1, 8, 27 et 64.

1. Le premier terme vaut 1/1³ = 1.
2. Le deuxième porte la somme à 1 + 1/8 = 9/8 = 1,125.
3. Le troisième donne 9/8 + 1/27 = 251/216 ≈ 1,162037.
4. Le quatrième donne 251/216 + 1/64 = 2035/1728 ≈ 1,177662.

La somme obtenue est encore inférieure à ζ(3) ≈ 1,2020569, car tous les termes non ajoutés sont positifs. Avec cette valeur décimale de référence, l'écart restant est d'environ 1,2020569 − 1,1776620 ≈ 0,0243949. Le contrôle consiste à vérifier que chaque nouveau terme est positif et plus petit que le précédent : les sommes doivent donc augmenter par pas décroissants. La figure matérialise cette progression sans confondre la quatrième somme partielle avec la limite.

Pour obtenir une valeur numérique de ζ(3), on additionne un nombre fini de termes 1/k³. On augmente le nombre de termes lorsque la précision recherchée dépasse celle de la somme partielle courante.

Pour contrôler un calcul, on compare plusieurs sommes partielles. Elles doivent croître, puisque chaque terme ajouté est positif, tandis que les accroissements 1/k³ diminuent. Une baisse signale donc une erreur de calcul.

Pour raisonner sur la nature du nombre, une approximation décimale ne suffit pas. On emploie le théorème d'Apéry pour conclure à l'irrationalité ; aucune quantité de décimales calculées ne constitue cette preuve.

La constante d'Apéry et la fonction zêta de Riemann. La première est un nombre unique, obtenu au point 3 ; la seconde est une fonction qui dépend d'un argument. Écrire ζ(3) désigne la constante, tandis que ζ(s) désigne une valeur encore dépendante de s.

La constante d'Apéry et le théorème d'Apéry. La constante est le nombre ζ(3). Le théorème est l'affirmation démontrée en 1977 selon laquelle ce nombre est irrationnel. Une valeur décimale approche l'objet ; elle n'énonce pas le théorème.

ζ(3) et les valeurs paires de la fonction zêta. Le critère est l'entier auquel la fonction est évaluée. Le point 3 est impair ; les formules faisant intervenir un multiple rationnel d'une puissance de π concernent les entiers pairs.

Une somme partielle n'est pas la constante. Après quatre termes, on obtient exactement 2035/1728, soit environ 1,177662, et non ζ(3). Le symptôme est l'arrêt des points de suspension. Il faut conserver un signe d'approximation et préciser le nombre de termes.

Irrationnel ne signifie pas automatiquement transcendant. Le théorème d'Apéry établit que ζ(3) n'est pas un quotient d'entiers. Il ne règle pas sa transcendance, qui reste une question ouverte ; il faut donc séparer explicitement les deux propriétés.

L'indice commence à 1. Le terme k = 0 rendrait 1/k³ indéfini. Une somme écrite depuis zéro ne représente donc pas la constante d'Apéry ; il faut commencer aux entiers positifs.

Le cas 3 ne donne pas une règle pour tous les entiers impairs. Les valeurs de la fonction zêta aux entiers impairs supérieurs à 1 demeurent mal comprises. Il faut éviter d'étendre automatiquement l'irrationalité prouvée de ζ(3) à chacune de ces valeurs.

La fonction zêta de Riemann replace ζ(3) parmi toutes les valeurs d'une même fonction et éclaire le rôle particulier de l'argument 3.

Le nombre transcendant précise la propriété plus forte dont on ignore encore si elle s'applique à la constante d'Apéry.