AnalyseNotion · Glossaire
problème de Bâle
Le problème de Bâle, parfois appelé problème de Mengoli, a été posé par Pietro Mengoli en 1644 et résolu par Leonhard Euler en 1735. Il consiste à déterminer la valeur exacte de la série : . Bien que la convergence de cette série soit établie, son évaluation précise représentait un défi considérable pour les mathématiciens de l'époque, en raison de sa convergence particulièrement lente. Euler démontra que cette somme est égale à π²/6. Cette valeur correspond au point s = 2 de la fonction zêta de Riemann ζ(s). Le résultat π²/6 est un nombre transcendant, ce qui signifie qu'il n'est racine d'aucun polynôme non nul à coefficients rationnels.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la série des inverses des carrés et sa valeur exacte π²/6.
- Recalculer les dix premières sommes partielles et mesurer l’écart restant.
- Encadrer le reste après N termes entre 1/(N + 1) et 1/N.
- Relier le problème de Bâle à la valeur ζ(2) de la fonction zêta de Riemann.
- Distinguer la série 1/n² de la série harmonique et des autres exposants.
En clair
Prenez les carrés des entiers : 1, 4, 9, 16… Puis additionnez leurs inverses : 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16… Chaque nouveau terme est positif, mais devient très petit. La somme se rapproche donc lentement d’une valeur fixe. Le problème de Bâle demande la valeur exacte de cette limite, pas seulement une approximation. La surprise est qu’elle fait intervenir le nombre π : la somme infinie vaut π2/6, soit environ 1,644934.
Définition
Le problème de Bâle, ou problème de Mengoli, consiste à évaluer exactement la série obtenue en additionnant l’inverse du carré de chaque entier positif. Pour un entier positif n, le terme de rang n est 1/n2. La question porte sur la limite des sommes partielles lorsque le nombre de termes tend vers l’infini : .
Pietro Mengoli posa le problème en 1644. Leonhard Euler le résolut en 1735. La série converge, mais ses sommes partielles progressent lentement vers la limite, ce qui rend une simple accumulation de termes peu efficace pour deviner puis établir la valeur exacte.
Pour Re(s) > 1, la fonction zêta de Riemann est représentée par la série ζ(s) formée par les termes 1/ns. Le problème de Bâle évalue son cas s = 2 : . Cette valeur est transcendante : elle n’est racine d’aucun polynôme non nul à coefficients rationnels.
Un exemple, pas à pas
Données. On additionne les dix premiers inverses de carrés. La somme après N termes est notée SN. La valeur de référence est π2/6 ≈ 1,644934.
1. Les quatre premiers termes donnent S4 = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 = 1,423611…
2. En poursuivant jusqu’au dixième terme, on obtient .
3. L’écart à la somme infinie vaut π2/6 − S10 ≈ 0,095166. Dix termes ne donnent donc qu’une approximation encore éloignée d’environ neuf centièmes.
4. Le reste est la somme des termes à partir de 1/112. En comparant ces termes à l’aire sous la courbe 1/x2, on contrôle .
Contrôle. Le nombre 0,095166 est bien compris entre 1/11 ≈ 0,090909 et 1/10 = 0,1. Le tracé des dix sommes partielles montre leur hausse régulière et le chemin restant jusqu’à π2/6.
En pratique
Lorsqu’un calcul fait apparaître la somme de tous les inverses de carrés des entiers positifs, l’identité d’Euler remplace directement la série infinie par π2/6. Si la somme s’arrête à un rang fini, il faut conserver la somme partielle au lieu d’utiliser cette valeur exacte.
Pour une approximation numérique, on choisit le nombre de termes d’après l’erreur tolérée. Après N termes, la comparaison avec 1/x2 place le reste entre 1/(N + 1) et 1/N. Si une erreur inférieure à 0,01 est exigée, N = 100 assure un reste strictement inférieur à 1/100.
Quand l’exposant n’est pas 2, la valeur π2/6 ne s’applique pas. Il faut alors étudier la série de Riemann correspondante ou la fonction zêta au point concerné, plutôt que transposer le résultat du problème de Bâle.
À ne pas confondre
La série harmonique. Elle additionne 1/n, tandis que le problème de Bâle additionne 1/n2. Le test est l’exposant du dénominateur : avec 1/n, les sommes partielles ne convergent pas vers π2/6.
La fonction zêta entière. Le problème de Bâle ne détermine pas ζ(s) pour toute valeur de s ; il calcule seulement ζ(2). Si la variable s reste libre, l’objet étudié est la fonction zêta, et non sa valeur particulière en 2.
Une approximation décimale. Le nombre 1,644934… approche la réponse, alors que π2/6 en est la valeur exacte. Un nombre fini de décimales ne suffit donc pas lorsque la question demande de résoudre le problème de Bâle exactement.
Limites et pièges
Convergence lente. Des termes minuscules ne rendent pas automatiquement la somme partielle très proche de la limite. Après 10 termes, le reste vaut encore environ 0,095166. Il faut l’encadrer plutôt que juger sa taille d’après le seul terme 1/102.
Somme finie. L’égalité avec π2/6 concerne la limite quand le rang tend vers l’infini. Pour tout rang fini N, la somme SN est strictement inférieure à π2/6, puisque tous les termes encore omis sont positifs.
Exposant modifié. Remplacer le carré par une autre puissance change le problème. Le cas charnière 1/n ne converge même plus ; aucune valeur π2/6 ne doit alors être reportée.
Transcendance. Dire que π2/6 est transcendant ne signifie pas que son développement décimal serait dépourvu de structure visible. Cela signifie précisément qu’aucun polynôme non nul à coefficients rationnels ne l’a pour racine.
Pour aller plus loin
série de Riemann. Situer le cas d’exposant 2 parmi les séries de termes 1/ns et comparer leurs comportements.
convergence d'une série numérique. Préciser ce que signifie la convergence des sommes partielles et comment raisonner sur leur reste.
fonction zêta de Riemann. Replacer l’identité ζ(2) = π2/6 dans la fonction dont elle constitue une valeur particulière.
Euler Leonhard. Prolonger le repère historique autour du mathématicien qui résolut le problème en 1735.
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