série formelle

Écrivons une suite de nombres le long des puissances 1, X, X², X³, puis continuons sans fixer de fin. La série formelle est cette liste de coefficients habillée en expression algébrique. Le symbole X sert de repère : il ne reçoit aucune valeur et ne soulève donc aucune question de convergence.

On peut additionner deux listes terme à terme. Pour les multiplier, chaque coefficient du résultat rassemble tous les produits dont les exposants totalisent le rang recherché.

Soit K un corps et X un symbole. Une série formelle en X à coefficients dans K est déterminée par une suite (a_n)_n≥0 d'éléments de K. Elle s'écrit ainsi : Cette écriture encode la suite ; elle ne définit pas nécessairement une fonction et ne demande aucun domaine de valeurs pour X. L'ensemble de ces objets est noté K[[X]].

L'addition se fait coefficient par coefficient. Si la série A a pour coefficients a_n et la série B pour coefficients b_n, leur produit a pour coefficient de rang n la somme de tous les a_kb_n−k possibles : Cette somme est toujours finie pour un rang fixé, même si les deux séries comportent une infinité de coefficients. Ces opérations font de K[[X]] une algèbre sur K.

Un polynôme est un cas particulier : tous ses coefficients sont nuls à partir d'un certain rang. La distinction avec une série entière porte sur le point de vue adopté : une série entière est étudiée comme fonction là où elle converge, tandis qu'une série formelle est manipulée coefficient par coefficient.

Une série formelle réunit quatre éléments. Le corps K fournit les coefficients et leurs opérations. Le symbole X repère les rangs sans représenter un nombre. L'exposant n, entier positif ou nul, indique la position du coefficient a_n. Enfin, la suite complète des coefficients détermine la série : deux séries sont égales si tous leurs coefficients de même rang sont égaux.

Le rang relie donc chaque coefficient à une puissance de X. Lors d'un produit, l'addition des exposants impose quels coefficients doivent être combinés. Ces données suffisent à calculer, à tout rang choisi, une somme ou un produit dans K[[X]]. La façon de tracer l'expression ou le choix de la lettre X ne définissent pas l'objet. Le schéma associé rend visible le regroupement exact des produits pour chaque rang.

Dans le corps des nombres rationnels, considérons A = 1 + X + X² et B = 1 + 2X comme des séries formelles. Leurs coefficients non nuls sont a₀ = a₁ = a₂ = 1, b₀ = 1 et b₁ = 2. Tous les coefficients suivants valent 0.

1. Au rang 0, seul a₀b₀ intervient : c₀ = 1.
2. Au rang 1, c₁ = a₀b₁ + a₁b₀ = 2 + 1 = 3.
3. Au rang 2, c₂ = a₁b₁ + a₂b₀ = 2 + 1 = 3.
4. Au rang 3, seul a₂b₁ reste non nul : c₃ = 2.

Le produit obtenu est donc $(1+X+X^2)(1+2X)=1+3X+3X^2+2X^3(1+X+X^2)(1+2X)=1+3X+3X^2+2X^3$. Un contrôle consiste à développer distributivement les six produits : ils se regroupent bien selon les quatre puissances 1, X, X² et X³.

En combinatoire, une suite de nombres peut être encodée par les coefficients d'une série. Les opérations algébriques traduisent alors des façons de combiner des objets comptés. Une fonction génératrice est préférable lorsque cet encodage donne accès aux coefficients recherchés.

En algèbre, on calcule directement avec les coefficients, par exemple pour chercher un inverse ou résoudre une identité rang après rang. Une série entière devient le cadre pertinent si l'objectif est d'évaluer l'expression en un nombre et d'étudier sa convergence.

Pour certaines équations différentielles, on pose une série inconnue puis on compare les coefficients de chaque puissance. Cette démarche produit des relations de récurrence purement algébriques ; l'existence d'une fonction représentée par la série demeure une question séparée.

Série entière. Une série entière est étudiée comme une fonction sur les valeurs de X pour lesquelles la somme converge. La série formelle ne s'évalue pas par défaut : si aucun rayon de convergence n'est recherché, le calcul reste formel.

Polynôme. Un polynôme ne possède qu'un nombre fini de coefficients non nuls. Une série formelle peut en posséder une infinité ; par exemple 1 + X + X² + X³ + … n'est pas un polynôme dans K[X].

Suite numérique. La suite fournit les coefficients, mais K[[X]] ajoute des opérations structurées par les rangs. Le produit de deux séries n'est ni le produit terme à terme des deux suites ni une multiplication de leurs sommes numériques.

Évaluation injustifiée. Remplacer X par un nombre et sommer les termes peut ne rien définir. Le symptôme est l'apparition d'une limite ou d'une somme infinie numérique. Il faut alors établir une convergence dans un cadre analytique, ou conserver X comme symbole.

Inverse absent. Dans K[[X]], une série admet un inverse multiplicatif exactement lorsque son coefficient constant est non nul. Si a₀ = 0, le coefficient constant de tout produit reste nul ; il est donc impossible d'obtenir la série constante 1.

Composition non définie sans condition. Substituer une série B dans une série A exige en général que le coefficient constant de B soit nul, afin que chaque coefficient du résultat ne reçoive qu'un nombre fini de contributions. Cette restriction disparaît notamment si A est un polynôme.

Égalité tronquée. Vérifier quelques premiers coefficients ne prouve pas l'égalité de deux séries. Une troncature donne seulement une égalité jusqu'au rang calculé ; une preuve complète doit établir l'égalité à tout rang.

La fonction génératrice montre comment une suite combinatoire devient une série dont les coefficients portent l'information à extraire.

Le produit de Cauchy de deux séries approfondit la règle de convolution utilisée pour calculer chaque coefficient d'un produit.

La série entière ouvre le versant analytique : l'évaluation en une variable et la convergence s'ajoutent alors au calcul algébrique.