série hypergéométrique

Écrivons une suite de coefficients : 1, 1/2, 3/8, 5/16, 35/128… Pour passer de l'un au suivant, on multiplie successivement par 1/2, 3/4, 5/6, 7/8… Le multiplicateur change, mais selon une règle prévisible : au rang n, il vaut (2n − 1)/(2n).

Une série dont les coefficients avancent ainsi est hypergéométrique lorsque le quotient de deux coefficients successifs est une fraction rationnelle du rang. La série géométrique est le cas plus simple où ce quotient ne change jamais.

Une série formelle en une variable z est écrite à partir de coefficients c₀, c₁, c₂, … :
Elle est dite hypergéométrique lorsque, pour les rangs où le quotient est défini, c_n/c_n−1 est une fraction rationnelle en l'entier n, c'est-à-dire le quotient de deux polynômes en n. Le caractère « formel » signifie que cette définition porte d'abord sur les coefficients, sans supposer que la somme converge pour une valeur numérique de z.

Après normalisation du coefficient initial et, au besoin, changement d'échelle de z, la notation hypergéométrique généralisée rassemble des paramètres supérieurs a₁, …, a_p et inférieurs b₁, …, b_q :
Le symbole (a)_n désigne le produit montant a(a+1)…(a+n−1), avec (a)₀ = 1. Un paramètre inférieur ne doit pas annuler un dénominateur, sauf si la série s'arrête avant le rang problématique ou si le facteur a été simplifié.

Le quotient des coefficients de cette écriture est rationnel en n :
Si ce quotient est constant, on retrouve une série géométrique. Gauss a systématisé cette théorie dès 1812 ; la notation compacte sert notamment en analyse, en physique mathématique et en combinatoire.

La structure repose sur quatre éléments. Le coefficient initial c₀ lance la suite. Une fraction rationnelle R(n) fixe le passage au rang suivant par c_n = R(n)c_n−1. La puissance zⁿ place ce coefficient au rang n. Enfin, le signe de somme assemble tous les termes en une série formelle.

Dans la notation pF_q, les paramètres supérieurs fournissent les facteurs du numérateur de R(n), tandis que les paramètres inférieurs et le facteur n fournissent ceux du dénominateur. Ainsi, paramètres et quotient décrivent la même mécanique sous deux formes.

La suite conductrice rend cette dépendance visible : chaque flèche porte exactement le facteur qui produit le coefficient suivant. Le choix d'une valeur numérique de z intervient seulement ensuite, lorsqu'on veut étudier ou calculer la somme analytique.

Considérons une série de variable z. Ses données sont c₀ = 1 et, pour tout entier n au moins égal à 1, c_n = [(2n − 1)/(2n)]c_n−1. Pour une évaluation numérique, prenons z = 1/4, sans unité.

1. Le quotient de deux coefficients successifs vaut $c_n\mathrm{/}{c}_{n-1}=(2n-1)\mathrm{/}(2n)c\_n/c\_\{n-1\}=(2n-1)/(2n)$. C'est une fraction rationnelle en n : la série est donc hypergéométrique.

2. La récurrence donne c₁ = 1/2, c₂ = 3/8, c₃ = 5/16 et c₄ = 35/128. Chaque valeur provient de la précédente avec le facteur annoncé.

3. Ces coefficients correspondent à la notation ${}_1{F}_0\text{\hspace{0.17em}⁣}(\frac{1}{2};;z)\{\}\_1F\_0\backslash !\backslash left(\backslash frac12;;z\backslash right)$, car c_n = (1/2)_n/n!.

4. À z = 1/4, la somme des cinq premiers termes est :
Le résultat partiel est sans unité.

5. La somme complète vaut $(1-z{)}^{-1\mathrm{/}2}(1-z)^\{-1/2\}$ pour |z| < 1 ; à z = 1/4, elle vaut 2/√3 ≈ 1,154701. Le terme suivant vaut 63/262144 ≈ 0,000240. Les rapports suivants étant inférieurs à 1/4, le reste est inférieur à 21/65536 ≈ 0,000320 ; l'écart observé, environ 0,000312, respecte ce contrôle.

Pour reconnaître une série donnée par ses coefficients, on calcule le quotient de deux coefficients successifs. S'il se simplifie en quotient de polynômes du rang, le langage hypergéométrique convient ; s'il est constant, la série géométrique, plus simple, suffit.

En combinatoire, une formule de coefficients peut être remplacée par une récurrence de premier ordre lorsque ce quotient rationnel est explicite. Le bon réflexe consiste à vérifier les rangs où le dénominateur s'annule avant de propager les valeurs.

En analyse ou en physique mathématique, la notation pF_q compacte une série longue et rend ses paramètres visibles. Pour obtenir une valeur numérique, il faut cependant contrôler la convergence ; une simple manipulation formelle ne remplace pas ce contrôle.

Série géométrique. Son quotient c_n/c_n−1 est constant. Le quotient (2n − 1)/(2n) de l'exemple dépend de n : la série est hypergéométrique, mais non géométrique.

Fonction hypergéométrique. La série formelle est l'objet défini par ses coefficients. Une fonction apparaît lorsqu'on évalue la série là où elle converge, puis éventuellement lorsqu'on la prolonge au-delà de ce domaine.

Loi hypergéométrique. Cette loi de probabilité porte un nom voisin, mais elle décrit un tirage sans remise. Une expression indexée par n dont le quotient des coefficients est rationnel relève ici des séries, pas automatiquement d'un modèle probabiliste.

Un quotient peut cesser d'être défini. Si c_n−1 = 0, écrire c_n/c_n−1 n'a plus de sens. Il faut alors revenir à la formule explicite des coefficients ou simplifier les facteurs avant de conclure.

Un paramètre peut arrêter la série. Lorsqu'un paramètre supérieur est un entier nul ou négatif, son produit montant devient nul à partir d'un certain rang : la série se termine et devient un polynôme. Ce cas ne doit pas être traité comme une série infinie divergente.

Formel ne signifie pas convergent. Après simplification des paramètres communs, pour une série pF_q effectivement réduite, non terminée et sans paramètre inférieur singulier, p ≤ q donne une convergence pour tout z ; p = q + 1 donne un rayon 1 ; p > q + 1 donne un rayon nul. Sur le cercle |z| = 1, les paramètres imposent une étude supplémentaire.

La notation peut masquer une simplification. Un même paramètre présent en haut et en bas peut se simplifier, sous réserve que les coefficients restent définis. Il faut effectuer ce contrôle avant de déduire la convergence des seuls nombres p et q.

La fiche Série géométrique approfondit le cas où le quotient des coefficients reste constant et fournit un repère pour mesurer la généralisation.

La notice Gauss Carl replace le mathématicien associé à la systématisation de la théorie hypergéométrique dans son parcours scientifique.

L'entrée analyse combinatoire ouvre vers l'un des domaines où les suites de coefficients et leurs récurrences rationnelles interviennent.