Hypergéométriques (suites)

Regardons la suite 1, 2, 6, 20, 70. Pour passer d’un terme au suivant, le multiplicateur change : 2, puis 3, puis 10/3, puis 7/2. Pourtant, cette variation suit une règle précise qui dépend seulement du rang.

Une suite est dite hypergéométrique lorsque ce multiplicateur s’exprime comme le quotient de deux polynômes du rang. Une suite géométrique est le cas le plus simple : son multiplicateur reste constant.

Soit une suite de termes (a_n) définie sur un intervalle I d’entiers. Elle est hypergéométrique s’il existe une fonction rationnelle R, c’est-à-dire un quotient de deux polynômes, définie pour tout entier n tel que n et n + 1 appartiennent à I, et telle que la relation suivante soit vérifiée à chacun de ces rangs :

Lorsque a_n n’est pas nul, cette relation équivaut à $\frac{a_{n+1}}{a_n}=R(n)\backslash frac\{a\_\{n+1\}\}\{a\_n\}=R(n)$. La forme par récurrence reste préférable si un terme peut s’annuler. Une suite géométrique correspond au cas où R est constante.

En additionnant les termes d’une telle suite, on obtient une série hypergéométrique. Dans la série de Gauss, le quotient de deux termes consécutifs dépend rationnellement du rang et des paramètres. Cette construction relie la notion aux fonctions hypergéométriques et, par leurs cas particuliers ou leurs formes limites, à des fonctions spéciales classiques comme les polynômes de Legendre et de Jacobi ou les fonctions de Bessel. L’équation différentielle hypergéométrique de Gauss est d’ordre deux et possède trois points singuliers réguliers.

Prenons la suite dont le terme de rang n est le coefficient binomial central $a_n=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2n}{n}\right)a\_n=\backslash binom\{2n\}\{n\}$, pour tout entier n supérieur ou égal à 0. Les données de départ sont a₀ = 1 et la formule du coefficient binomial.

1. Écrivons le quotient de deux termes consécutifs.
$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2n+2}{n+1}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2n}{n}\right)}\backslash frac\{a\_\{n+1\}\}\{a\_n\}=\backslash frac\{\backslash binom\{2n+2\}\{n+1\}\}\{\backslash binom\{2n\}\{n\}\}$

2. Développons les factorielles et simplifions.
$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1{)}^2}=\frac{2(2n+1)}{n+1}\backslash frac\{a\_\{n+1\}\}\{a\_n\}=\backslash frac\{(2n+2)(2n+1)\}\{(n+1)^2\}=\backslash frac\{2(2n+1)\}\{n+1\}$

3. Ce quotient est une fonction rationnelle de n : la suite est donc hypergéométrique.

4. Pour n = 0, 1, 2 et 3, les multiplicateurs valent 2, 3, 10/3 et 7/2. À partir de a₀ = 1, on retrouve exactement 1, 2, 6, 20, 70.

Le contrôle est refaisable sans coefficient binomial : multiplier successivement 1 par 2, puis par 3, par 10/3 et par 7/2 donne bien les cinq termes annoncés.

Pour reconnaître une suite hypergéométrique, on calcule le quotient de deux termes consécutifs puis on le simplifie. S’il devient un quotient de polynômes du rang, le critère est satisfait ; sinon, il faut chercher une autre famille de suites.

Pour produire les termes, la récurrence a_n+1 = R(n)a_n évite de recalculer une formule fermée. Elle est préférable au quotient lorsque des termes nuls rendent la division impossible.

Pour étudier une série, ce même quotient décrit la variation de ses termes. Lorsque le quotient n’est pas rationnel en n, les outils propres aux séries hypergéométriques ne s’appliquent pas directement.

Suite géométrique. Son quotient a_n+1/a_n est constant. La suite 1, 2, 4, 8 est géométrique, tandis que 1, 2, 6, 20, 70 est hypergéométrique sans être géométrique, car ses multiplicateurs changent avec le rang.

Loi hypergéométrique. Cette loi de probabilité décrit un comptage lors de tirages sans remise. Le critère d’une suite hypergéométrique porte, lui, sur le quotient rationnel de termes consécutifs. Le mot commun ne rend pas les deux notions interchangeables.

Terme nul. Si a_n = 0, le quotient a_n+1/a_n n’existe pas. Il faut alors examiner la relation a_n+1 = R(n)a_n sur les rangs où R est définie, plutôt que diviser mécaniquement.

Pôle de la fonction rationnelle. Si le dénominateur de R(n) s’annule à un rang entier du domaine, la récurrence ne détermine plus le terme suivant à ce rang. Il faut restreindre le domaine ou traiter séparément ce paramètre.

Somme et terme général. Une série hypergéométrique est la somme de termes formant une suite hypergéométrique. La propriété du quotient concerne les termes additionnés ; elle n’affirme pas que la suite des sommes partielles possède le même quotient rationnel.

Famille de Gauss. L’équation hypergéométrique de Gauss se reconnaît à son ordre deux et à ses trois points singuliers réguliers. D’autres fonctions dites hypergéométriques peuvent provenir de spécialisations ou de limites : il ne faut pas leur attribuer automatiquement ces trois mêmes singularités.

La suite géométrique donne le cas où le quotient de termes consécutifs est constant, point de départ naturel avant le cas rationnel.

La fonction rationnelle précise la forme exacte que doit prendre le multiplicateur R(n) dans la définition.

La fonction de Bessel montre comment la famille hypergéométrique rejoint des fonctions spéciales classiques.