fonction de Bessel

Frappez une membrane ronde : sa vibration ne se répartit pas comme celle d’une corde droite. À mesure que l’on s’éloigne du centre, les cercles concentriques n’ont pas la même taille. L’équation qui décrit cette variation contient donc la distance au centre.

Les fonctions de Bessel sont les profils qui s’adaptent à cette géométrie circulaire ou cylindrique. Certaines restent finies au centre, d’autres y deviennent singulières. Leur ordre paramètre le terme correspondant dans l’équation ; lorsqu’il provient d’une séparation de la dépendance angulaire, il indique notamment la manière dont la solution dépend de la direction autour de l’axe.

Une fonction de Bessel est une solution d’une équation différentielle linéaire du second ordre. La variable x représente l’argument, la fonction inconnue est notée y, et le paramètre α, réel ou complexe, est appelé l’ordre. L’équation est $x^2{y}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+x{y}^{\mathrm{\prime }}+(x^2-{\alpha }^2)y=0x^2y\text{'}\text{'}+xy\text{'}+(x^2-\backslash alpha^2)y=0$. Elle intervient lorsque la séparation des variables ramène un problème à une dépendance radiale dans une géométrie cylindrique ou polaire ; des fonctions apparentées interviennent aussi en symétrie sphérique.

Pour un ordre fixé, l’espace des solutions est de dimension deux sur un intervalle qui n’inclut pas le point singulier x = 0. La fonction de première espèce J_α sélectionne la solution usuellement régulière à l’origine lorsque cette prescription a un sens. La fonction de deuxième espèce Y_α, aussi appelée fonction de Neumann, fournit une solution indépendante et généralement singulière à l’origine.

Les fonctions de Hankel H_α⁽¹⁾ et H_α⁽²⁾ constituent une autre base du même espace de solutions. Elles combinent J_α et Y_α et sont adaptées à la représentation de deux sens de propagation. Le nom honore Friedrich Bessel, né en 1784 et mort en 1846, mais Daniel Bernoulli avait étudié ces fonctions auparavant.

Quatre éléments organisent l’objet. L’argument x situe le point où la solution est évaluée. L’ordre α choisit une famille d’équations. La fonction inconnue y et ses deux dérivées décrivent respectivement le profil, sa pente et la variation de cette pente. Enfin, une condition de régularité ou des données initiales sélectionnent une solution particulière parmi toutes celles qui vérifient l’équation.

Les coefficients x², x et x² − α² relient ces éléments : changer l’ordre modifie le terme qui multiplie y, tandis que changer x modifie simultanément les trois poids. L’équation seule définit donc une famille de solutions ; le choix entre J_α, Y_α ou une fonction de Hankel dépend d’une condition supplémentaire. Une couleur ou une échelle de tracé ne fait pas partie de la définition.

Cherchons près de x = 0 la solution de première espèce d’ordre α = 0, normalisée par y(0) = 1. Les données sont l’équation $x^2{y}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+x{y}^{\mathrm{\prime }}+x^{2}y=0x^2y\text{'}\text{'}+xy\text{'}+x^2y=0$ et un essai pair limité à trois termes, $P_4(x)=1+a_2{x}^2+a_4{x}^{4}P\_4(x)=1+a\_2x^2+a\_4x^4$.

1. En remplaçant y par P₄, le coefficient de x² devient 4a₂ + 1. Son annulation donne a₂ = −1/4.
2. Le coefficient de x⁴ devient 16a₄ + a₂. Son annulation donne a₄ = 1/64.
3. Le polynôme obtenu est donc $P_4(x)=1-\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{64}P\_4(x)=1-\backslash frac\{x^2\}\{4\}+\backslash frac\{x^4\}\{64\}$.

À x = 1, cette approximation vaut $P_4(1)=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}=\frac{49}{64}=\mathrm{0,765625}P\_4(1)=1-\backslash frac14+\backslash frac1\{64\}=\backslash frac\{49\}\{64\}=0\{,\}765625$. La figure représente ce polynôme et repère cette valeur exacte ; elle ne présente pas P₄ comme la fonction complète.

4. Le contrôle consiste à réinjecter P₄ dans l’équation. Les termes en x² et x⁴ s’annulent, et il reste exactement $x^2{P}_4^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+x{P}_4^{\mathrm{\prime }}+x^2{P}_4=\frac{x^6}{64}x^2P\_4\text{'}\text{'}+xP\_4\text{'}+x^2P\_4=\backslash frac\{x^6\}\{64\}$. Le résidu commence donc au degré six, comme attendu après une troncature au degré quatre.

Pour une vibration ou une onde possédant un axe de symétrie, on sépare la dépendance radiale des autres variables. Si l’équation radiale obtenue a la forme de Bessel, J_α convient lorsque la solution doit rester régulière au centre.

Si le domaine exclut le centre, une combinaison de J_α et Y_α peut satisfaire des conditions imposées sur deux rayons. Le critère n’est alors plus la régularité en x = 0, mais les valeurs ou les dérivées exigées aux frontières.

Pour décrire une propagation orientée, les fonctions de Hankel remplacent souvent la base J_α, Y_α. Le choix entre H_α⁽¹⁾ et H_α⁽²⁾ dépend de la convention temporelle et du sens de propagation retenu.

Une fonction de Bessel est une solution ; l’équation de Bessel est la relation différentielle qu’elle vérifie. Écrire seulement l’équation ne sélectionne pas J_α : il faut encore une normalisation ou une condition au bord.

Le polynôme P₄ de l’exemple n’est pas J₀. Il en reproduit seulement les premiers termes près de l’origine. Le résidu x⁶/64, non nul dès que x ≠ 0, tranche immédiatement entre approximation et solution exacte.

Le point x = 0 est singulier dans l’équation normalisée obtenue en divisant par x². On ne peut donc pas y appliquer sans précaution un théorème ordinaire d’existence et d’unicité fondé sur des coefficients continus. La régularité à l’origine doit être imposée et étudiée séparément.

Pour un ordre entier n, les expressions J_n et J_−n ne fournissent pas deux solutions indépendantes. Employer systématiquement les ordres opposés comme base fait donc perdre une dimension ; J_n et Y_n forment alors le couple usuel hors de l’origine.

Avec un argument complexe, notamment lorsqu’il se trouve sur une coupure, la définition de puissances comme x^α peut imposer un choix de branche. Un ordre complexe n’introduit pas à lui seul cette ambiguïté lorsque l’argument est réel positif. Une valeur numérique n’est interprétable qu’avec la même convention de branche et la même normalisation que la référence utilisée.

La mention d’une symétrie sphérique ne signifie pas que l’équation radiale se présente toujours immédiatement sous la forme écrite ici. Un changement de fonction ou de variable peut être nécessaire ; il faut identifier l’équation effectivement obtenue avant de choisir la famille de solutions.

Bessel Wilhelm — Situer le savant dont le nom est attaché à cette famille de fonctions.