Hankel Hermann

Entre 1839 et 1873, Hermann Hankel mène en Allemagne une vie de mathématicien aussi brève que féconde. Il se forme à Leipzig, Göttingen et Berlin auprès de Möbius, Riemann, Kronecker et Weierstrass, puis enseigne à Leipzig et Tübingen.

Deux objets gardent aujourd’hui son nom. Les fonctions de Hankel interviennent parmi les solutions de l’équation de Bessel. Les matrices de Hankel se reconnaissent, elles, à des valeurs constantes le long de chaque anti-diagonale.

Hermann Hankel est un mathématicien allemand né en 1839 et mort en 1873. Après une formation à Leipzig auprès de Möbius, il étudie à Göttingen avec Bernhard Riemann, puis travaille à Berlin avec Kronecker et Weierstrass. Sa thèse, soutenue en 1862, porte sur une classe particulière de déterminants symétriques. Il enseigne ensuite aux universités de Leipzig et de Tübingen.

Ses travaux contribuent à l’analyse complexe, à la théorie des fonctions, à la théorie des intégrales et à l’histoire des mathématiques. Ils concernent notamment la théorie de l’intégrale de Riemann.

Son nom subsiste dans deux familles d’objets. Les fonctions de Hankel sont des solutions de l’équation de Bessel employées en physique mathématique. Dans cette fiche consacrée au mathématicien, cette indication sert à reconnaître ce que désigne son nom dans ce contexte ; la fiche liée présente ces fonctions plus en détail. Une matrice de Hankel est une matrice dont la valeur dépend seulement de la somme du numéro de ligne et du numéro de colonne. Autrement dit, chacune de ses anti-diagonales est constante.

Prenons les cinq valeurs 1, 2, 3, 4 et 5 pour construire une matrice de Hankel carrée de trois lignes et trois colonnes. Chaque case reçoit la valeur associée à la somme de ses numéros de ligne et de colonne.

1. La première ligne est 1, 2, 3.
2. La deuxième ligne commence par 2, puis continue avec 3 et 4.
3. La troisième ligne est 3, 4, 5. On obtient donc :

Le contrôle se fait anti-diagonale par anti-diagonale. Celle qui va du coin supérieur droit au coin inférieur gauche contient 3, 3 et 3. Les deux anti-diagonales voisines contiennent respectivement 2, 2 et 4, 4. Chaque valeur y reste donc constante : la matrice obtenue est bien une matrice de Hankel.

Dans un texte d’histoire des mathématiques, le nom Hermann Hankel conduit à un parcours précis : Leipzig, Göttingen et Berlin pour sa formation, puis Leipzig et Tübingen pour son enseignement. Les dates 1839–1873 situent cette trajectoire brève.

Face à une matrice, on compare les cases d’une même anti-diagonale. Si chacune porte une valeur constante, la structure de Hankel est reconnue. Si ce test échoue, il faut décrire la matrice autrement au lieu de se fier à son éventuelle symétrie.

Face à l’équation de Bessel en physique mathématique, le nom de Hankel renvoie cette fois à des fonctions qui en sont des solutions. Le contexte permet ainsi de distinguer la personne de l’objet mathématique qui porte son nom.

Hermann Hankel et les objets qui portent son nom. Hermann Hankel est la personne née en 1839. Une fonction de Hankel est une solution de l’équation de Bessel ; une matrice de Hankel possède des anti-diagonales constantes. Le contexte biographique ou mathématique tranche immédiatement.

Matrice de Hankel et matrice symétrique quelconque. Une matrice de Hankel carrée est symétrique, mais la symétrie seule ne suffit pas. Considérons la matrice C :Son anti-diagonale centrale vaut 3, 4, 3 : la matrice C n’est donc pas de Hankel.

L’ordre du nom peut égarer. Le titre « Hankel Hermann » inverse l’ordre usuel du prénom et du nom. Dans un texte suivi, « Hermann Hankel » désigne la même personne ; il ne s’agit pas de deux mathématiciens.

Les diagonales concernées sont les anti-diagonales. Lire seulement la grande diagonale du coin supérieur gauche au coin inférieur droit ne permet pas d’identifier une matrice de Hankel. Il faut contrôler toutes les lignes de cases où la somme des numéros de ligne et de colonne reste constante.

L’exemple 3 × 3 n’est pas la définition. La taille carrée et les valeurs 1 à 5 servent uniquement à rendre le motif visible. Le critère décisif reste la constance de chaque anti-diagonale, pas le choix de ces nombres.

La fiche fonction de Hankel prolonge le lien entre le nom du mathématicien et les solutions de l’équation de Bessel.

L’entrée analyse complexe situe l’un des domaines auxquels les travaux de Hankel ont contribué.

Le portrait de Riemann Bernhard présente le mathématicien dont Hankel fut l’élève à Göttingen.