fonction de Hankel

Une onde émise autour d’une source cylindrique se déploie en cercles, comme des rides autour d’un point sur l’eau. Son profil ne se décrit pas avec les mêmes fonctions qu’une onde avançant en ligne droite.

Les fonctions de Hankel assemblent deux fonctions de Bessel en une quantité complexe. Le signe placé devant la partie imaginaire sépare deux sens de propagation radiale, une fois choisie la convention temporelle. Elles fournissent ainsi un langage adapté aux ondes cylindriques rencontrées en diffraction, en acoustique et en électromagnétisme.

Une fonction de Hankel est une solution complexe de l’équation de Bessel. La variable x repère l’argument, l’ordre α est un paramètre réel ou complexe, et y désigne la fonction inconnue. Les accents indiquent les dérivées de y par rapport à x. L’équation s’écrit :

La fonction J d’indice α est la fonction de Bessel de première espèce, et la fonction Y de même indice celle de deuxième espèce. Le nombre i vérifie i² = −1. Les deux combinaisons qui définissent les fonctions de Hankel sont :
Pour un ordre réel et un argument réel positif, J_α(x) et Y_α(x) sont réelles : les deux fonctions de Hankel sont alors conjuguées. Elles forment une paire de solutions linéairement indépendantes, aussi appelée paire de fonctions de Bessel de troisième espèce. Avec une dépendance temporelle fixée, les deux signes servent à représenter les deux orientations radiales d’une onde progressive. Pour des arguments ou des ordres complexes, il faut aussi préciser les conventions de branche.

Six éléments organisent l’objet. L’argument x indique où la solution est évaluée. L’ordre α fixe la version de l’équation de Bessel. La fonction J_α fournit une première composante, tandis que Y_α en fournit une seconde, indépendante sur x > 0. Le nombre imaginaire i transforme cette paire réelle en une solution complexe. Enfin, le signe + ou − distingue H_α⁽¹⁾ de H_α⁽²⁾.

Les deux composantes doivent avoir le même ordre et le même argument avant d’être combinées. Changer seulement le signe de la partie imaginaire échange les deux fonctions sans modifier leur partie J_α. Ces données suffisent à calculer H_α⁽¹⁾(x) et H_α⁽²⁾(x), puis à choisir la solution compatible avec l’orientation d’onde et la convention temporelle du problème.

Considérons une onde cylindrique dont le calcul fait intervenir l’ordre α = 1/2, au point x = 2. Pour cet ordre, les deux composantes de Bessel prennent une forme directement calculable.

Données.
L’ordre vaut α = 1/2.
L’argument vaut x = 2.
Le nombre π désigne le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre.
Le facteur commun vaut 1/√π ≈ 0,564190.
Les valeurs trigonométriques utilisées sont sin(2) ≈ 0,909297 et cos(2) ≈ −0,416147.

Les formules particulières nécessaires sont :

1. Multiplions 0,564190 par sin(2) : J_1/2(2) ≈ 0,513016.
2. Multiplions −0,564190 par cos(2) : Y_1/2(2) ≈ 0,234786.
3. Ajoutons la partie imaginaire : H_1/2⁽¹⁾(2) ≈ 0,513016 + 0,234786 i.
4. Changeons son signe : H_1/2⁽²⁾(2) ≈ 0,513016 − 0,234786 i.

Le contrôle est immédiat : les parties réelles coïncident et les parties imaginaires sont opposées. Les deux résultats sont donc conjugués, comme attendu pour un ordre réel et un argument réel positif. Leur représentation dans le plan complexe rend cette symétrie directement visible.

En diffraction, une source ou un obstacle à symétrie cylindrique conduit à décrire une onde qui se propage radialement. On retient la fonction de Hankel correspondant au sens de propagation imposé, plutôt qu’une composante J ou Y isolée.

En acoustique, le même choix sert à représenter une onde cylindrique progressive. Le critère observable est le flux qui s’éloigne de la source ou qui converge vers elle, interprété avec la convention temporelle adoptée.

En électromagnétisme, la géométrie cylindrique fait apparaître la même équation radiale. Une combinaison de Hankel devient préférable lorsque le problème impose une orientation d’onde ; J_α et Y_α restent utiles lorsqu’on veut travailler avec deux composantes séparées.

Avec une fonction de Bessel J_α ou Y_α. Chacune est une composante de la paire de départ ; une fonction de Hankel est précisément l’une des combinaisons complexes J_α + iY_α ou J_α − iY_α. Avec d’autres coefficients, il s’agit seulement d’une combinaison linéaire complexe de J_α et Y_α.

Avec une matrice de Hankel. Une matrice est un tableau de nombres dont les anti-diagonales portent des valeurs constantes ; elle ne résout pas l’équation de Bessel. La présence d’indices de ligne et de colonne, plutôt que d’un argument x et d’un ordre α, tranche immédiatement.

À l’argument x = 0. L’équation comporte les coefficients x et x² : ce point est singulier. Une évaluation directe des fonctions de Hankel usuelles y devient problématique ; il faut étudier une limite ou employer une solution adaptée au comportement recherché.

Sens de propagation. Dire que la première espèce est « sortante » n’a de sens qu’avec une convention temporelle. Si t désigne le temps, ω la pulsation et i l’unité imaginaire, H⁽¹⁾ représente couramment le sens sortant avec une dépendance en e^−iωt. Inverser le signe temporel échange cette lecture. Il faut donc annoncer la convention avant de choisir.

Arguments ou ordres complexes. La conjugaison observée dans l’exemple n’est plus automatique. Les prolongements complexes de Y_α et des fonctions de Hankel dépendent de choix de branche ; un logiciel et un texte peuvent différer s’ils n’emploient pas la même convention.

La fiche fonction de Bessel présente les deux composantes J_α et Y_α dont les fonctions de Hankel forment des combinaisons complexes.