D'Alembertien

Imaginez une vague qui avance sans changer de forme. En un point, sa hauteur varie avec le temps ; au même instant, elle varie aussi d'un endroit à l'autre. Le d'Alembertien compare précisément ces deux courbures, temporelle et spatiale, en tenant compte de la vitesse de propagation.

Quand cette comparaison donne zéro, la variation observée dans le temps correspond exactement à celle attendue dans l'espace pour une onde libre. L'opérateur transforme ainsi une description de l'onde en un test local.

Le d'Alembertien est un opérateur différentiel linéaire du second ordre appliqué à un champ suffisamment deux fois dérivable. Pour un champ scalaire u dépendant de la position et du temps t, le laplacien spatial Δ additionne les dérivées secondes selon les coordonnées d'espace. La constante positive c représente la vitesse de propagation choisie. Avec la convention de signe de la définition source, l'opérateur s'écrit :

L'équation des ondes homogène est $\mathrm{\square }u=0\backslash Box\; u=0$. Elle exprime une propagation sans terme source dans le modèle considéré. En relativité restreinte, en posant la coordonnée temporelle x⁰ = ct, la même opération s'écrit $\mathrm{\square }u={\eta }^{\mu \nu }{\mathrm{\partial }}_{\mu }{\mathrm{\partial }}_{\nu }u\backslash Box\; u=\backslash eta^\{\backslash mu\backslash nu\}\backslash partial\_\backslash mu\backslash partial\_\backslash nu\; u$ pour la métrique de signature (−,+,+,+). Avec la signature opposée, de nombreux auteurs définissent le d'Alembertien avec le signe global contraire. Cette convention change l'écriture de l'opérateur, mais pas l'équation homogène égale à zéro.

Considérons une onde scalaire sur une ligne. Son amplitude est $u(x,t)=\cos (\pi x-2\pi t)u(x,t)=\backslash cos(\backslash pi\; x-2\backslash pi\; t)$, où la position x est mesurée en mètres et le temps t en secondes. Les données sont : nombre d'onde k = π rad/m, pulsation ω = 2π rad/s et vitesse c = 2 m/s. La longueur d'onde vaut donc 2 m.

1. On dérive deux fois par rapport à la position : $\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{x}^2}=-{\pi }^{2}u\backslash frac\{\backslash partial^2u\}\{\backslash partial\; x^2\}=-\backslash pi^2u$.
2. On dérive deux fois par rapport au temps : $\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}u}{\mathrm{\partial }{t}^2}=-4{\pi }^{2}u\backslash frac\{\backslash partial^2u\}\{\backslash partial\; t^2\}=-4\backslash pi^2u$.
3. On applique le d'Alembertien à une dimension : $\mathrm{\square }u=-{\pi }^{2}u-\frac{1}{4}(-4{\pi }^{2}u)=0\backslash Box\; u=-\backslash pi^2u-\backslash frac\{1\}\{4\}(-4\backslash pi^2u)=0$.

Le résultat nul confirme que cette fonction satisfait l'équation des ondes pour c = 2 m/s. Un contrôle indépendant consiste à calculer la vitesse de phase : ω/k = 2 m/s. En 0,25 s, chaque sommet se décale donc de 0,50 m, comme le montre la comparaison des deux profils.

Pour tester une fonction candidate dans un modèle d'onde libre, on calcule ses courbures spatiale et temporelle, puis on vérifie si leur combinaison s'annule. Si le calcul laisse un terme non nul, la fonction candidate ne satisfait pas l'équation homogène avec les paramètres et la convention choisis. Une équation avec source n'est justifiée que si le modèle physique prescrit un second membre non nul.

En électromagnétisme ou en relativité restreinte, l'écriture covariante regroupe les dérivées d'espace et de temps. Avant tout calcul, on repère la signature de la métrique : elle détermine le signe retenu pour l'opérateur.

Si le phénomène étudié est stationnaire et ne dépend pas du temps, la dérivée temporelle disparaît et le d'Alembertien se réduit au laplacien spatial. Le laplacien est alors l'outil plus direct.

Le laplacien. Il ne porte que sur les coordonnées spatiales, tandis que le d'Alembertien inclut aussi une dérivée seconde temporelle pondérée par 1/c². Pour un champ qui varie avec le temps, les deux calculs donnent en général des résultats différents.

L'équation des ondes. Le d'Alembertien est l'opérateur appliqué au champ ; l'équation impose une valeur à son résultat. Ainsi, $\mathrm{\square }u\backslash Box\; u$ est une expression, tandis que $\mathrm{\square }u=0\backslash Box\; u=0$ est une équation homogène.

Convention de signe. Deux ouvrages peuvent afficher des formules opposées à cause de la signature métrique choisie. Le symptôme est un signe moins placé devant l'ensemble de l'opérateur. Il faut annoncer la convention et la conserver dans tout le calcul.

Vitesse non constante. La formule donnée suppose une vitesse c constante et strictement positive. Dans un milieu où la vitesse dépend de la position ou du temps, remplacer simplement c par une fonction peut omettre des termes ; il faut repartir de l'équation du modèle physique.

Présence d'une source. Une valeur non nulle de $\mathrm{\square }u\backslash Box\; u$ ne signifie pas forcément que la fonction est erronée. Elle peut signaler une source ou un forçage. Il faut alors comparer le résultat au second membre prescrit, et non à zéro.

Régularité insuffisante. La formule classique exige des dérivées secondes. Une onde avec une cassure peut ne pas les posséder en ce point ; une formulation faible ou au sens des distributions devient alors nécessaire.

Ondes (équation des) — Pour replacer l'opérateur dans l'équation qui relie évolution temporelle et variation spatiale.

Laplacien d'une fonction — Pour approfondir la composante spatiale du d'Alembertien et son calcul à plusieurs dimensions.

Opérateur différentiel — Pour situer le d'Alembertien dans la famille des transformations construites à partir de dérivées.