Lorentz Hendrik

En 1904, Hendrik Lorentz publie les transformations qui portent son nom. Imaginez deux observateurs : l'un reste sur un quai, l'autre se déplace à vitesse constante. Ils décrivent le même éclair lumineux, mais n'emploient pas les mêmes coordonnées d'espace et de temps. Les transformations de Lorentz donnent la règle de passage entre leurs mesures.

À faible vitesse, la correction paraît minime et la règle de Galilée suffit souvent. Près de la vitesse de la lumière, espace et temps ne se corrigent plus séparément. Cette articulation mathématique a fourni l'un des piliers de la relativité restreinte formulée par Einstein en 1905.

Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) est un physicien néerlandais associé à l'électromagnétisme, à une première théorie électronique de la matière et aux transformations de Lorentz. Sa thèse de 1875 étudiait la réflexion et la réfraction de la lumière. Avant la découverte expérimentale de l'électron par J. J. Thomson en 1897, il attribuait déjà les variations des ondes lumineuses à des oscillations de charges électriques dans la matière.

Considérons deux référentiels inertiels S et S′. Le référentiel S′ se déplace à la vitesse constante v suivant l'axe x de S, leurs axes sont parallèles et leurs origines coïncident aux temps t = t′ = 0. La vitesse de la lumière est notée c. Le facteur de Lorentz est noté γ et dépend du rapport v/c : $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2\mathrm{/}{c}^2}}\backslash gamma=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1-v^2/c^2\}\}$. Pour un événement de coordonnées x, y, z et t dans S, la forme standard des transformations est :

Ces équations transforment les coordonnées d'un même événement ; elles ne décrivent pas le déplacement de deux événements différents. Lorsque le rapport v/c est très petit, γ est proche de 1 et la transformation retrouve approximativement la règle galiléenne x′ = x − vt et t′ = t. Lorentz publia ces transformations en 1904. Einstein les intégra l'année suivante à la relativité restreinte. En 1902, Lorentz partagea avec son élève Pieter Zeeman le prix Nobel de physique pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur le rayonnement lumineux.

Un événement E est observé depuis deux référentiels. Dans S, il se produit à la position x = 600 m et au temps t = 4,0 µs. Le référentiel S′ avance suivant x à la vitesse v = 0,60c. Pour le calcul, on prend c = 3,00 × 10⁸ m/s.

Données.
x = 600 m ; t = 4,0 µs ; v = 0,60c ; y = z = 0.
Les origines coïncident pour t = t′ = 0 et S′ se déplace dans le sens positif de x.

Étape 1. Le rapport v/c vaut 0,60. Le facteur de Lorentz est donc : $\gamma =1\mathrm{/}\sqrt{1-{\mathrm{0,60}}^2}=\mathrm{1,25}\backslash gamma=1/\backslash sqrt\{1-0\{,\}60^2\}=1\{,\}25$.

Étape 2. Pendant 4,0 µs, l'origine de S′ parcourt vt = 720 m dans S. La coordonnée spatiale transformée vaut : $x^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{1,25}(600-720)=-150\mathrm{m}x\text{'}=1\{,\}25(600-720)=-150\backslash \; \backslash mathrm\{m\}$.

Étape 3. Le terme vx/c² vaut 1,2 µs. Le temps transformé est : $t^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{1,25}(\mathrm{4,0}-\mathrm{1,2})=\mathrm{3,5}\mu \mathrm{s}t\text{'}=1\{,\}25(4\{,\}0-1\{,\}2)=3\{,\}5\backslash \; \backslash mu\backslash mathrm\{s\}$. L'événement E a donc pour coordonnées x′ = −150 m et t′ = 3,5 µs dans S′.

Contrôle. L'intervalle c²t² − x² vaut 1 080 000 m² dans S. Dans S′, c²t′² − x′² vaut aussi 1 080 000 m². Cette égalité refaisable confirme la cohérence des deux coordonnées transformées.

Pour comparer les coordonnées d'un même événement données par deux observateurs en mouvement uniforme, on fixe d'abord le sens de la vitesse et l'instant où leurs origines coïncident. Les transformations de Lorentz fournissent alors x′ et t′ dans le second référentiel.

Lorsque v/c est très petit, γ reste proche de 1 : la transformation galiléenne constitue une approximation plus courte. Lorsque v devient une fraction notable de c, le décalage temporel vx/c² et le facteur γ deviennent observables dans le calcul ; il faut conserver la transformation de Lorentz.

En histoire des sciences, les dates distinguent les apports. La thèse sur la lumière date de 1875, le prix Nobel partagé avec Pieter Zeeman de 1902, les transformations de 1904 et la formulation de la relativité restreinte par Einstein de 1905.

Transformations de Lorentz et transformations galiléennes. Les premières modifient ensemble la coordonnée spatiale et le temps ; les secondes posent t′ = t. Avec v = 0,60c, l'exemple donne t′ = 3,5 µs au lieu de 4,0 µs : les deux règles ne sont pas interchangeables.

Transformations de Lorentz et relativité restreinte. Les transformations sont les équations qui relient les coordonnées entre référentiels inertiels. La relativité restreinte est la théorie formulée par Einstein en 1905 dont ces équations constituent un pilier mathématique.

Un événement et une trajectoire. Un événement correspond à une position et un temps uniques dans chaque référentiel. Une trajectoire réunit plusieurs événements. Transformer E à x = 600 m et t = 4,0 µs ne suffit donc pas à décrire le mouvement complet d'un objet.

Le signe dépend de la convention. Les formules données supposent que S′ avance à la vitesse +v suivant x. Si le sens du mouvement est inversé, il faut remplacer v par −v ; conserver les mêmes signes produirait des coordonnées incohérentes.

L'approximation galiléenne a un domaine. Dire seulement qu'une vitesse est « petite » ne suffit pas : c'est le rapport sans unité |v|/c qui doit être négligeable au regard de la précision recherchée. À 0,60c, γ = 1,25 ; l'écart à 1 vaut 25 %, donc l'approximation est inadéquate pour l'exemple.

La formule impose |v| < c. Quand |v| se rapproche de c, le dénominateur de γ se rapproche de zéro et γ augmente sans borne. À |v| = c, la forme écrite n'est pas définie ; il ne faut pas lui attribuer une valeur finie.

Les unités doivent rester compatibles. Dans x − vt, x et vt sont des longueurs. Dans t − vx/c², t et vx/c² sont des durées. Une valeur de t saisie en microsecondes comme si elle était en secondes rendrait le résultat faux de six ordres de grandeur.

L'étape suivante consiste à étudier les quantités que la transformation laisse inchangées. Dans l'exemple, l'égalité de c²t² − x² dans S et S′ révèle un invariant d'espace-temps : les coordonnées changent, mais cette combinaison demeure la même. Cette propriété permet de comparer les descriptions d'un événement sans privilégier l'un des deux référentiels inertiels.

On peut ensuite composer deux transformations colinéaires. Le calcul montre pourquoi les vitesses ne s'additionnent plus par une simple somme lorsque leurs rapports à c ne sont plus négligeables. Ce prolongement relie la forme algébrique des transformations à leur rôle dans la relativité restreinte.