forme de Lorentz

Imaginez deux éclairs séparés dans l’espace et dans le temps. Deux observateurs en mouvement relatif ne leur attribuent pas les mêmes distances ni la même durée. Pourtant, une combinaison précise de ces mesures reste identique pour tous les observateurs inertiels : la forme de Lorentz.

Elle additionne les trois écarts spatiaux au carré et soustrait l’écart temporel, converti en distance grâce à la vitesse de la lumière. Le signe du résultat indique si les deux événements peuvent être reliés par un objet matériel, par la lumière, ou par aucun signal assez rapide.

Dans l’espace-temps réel à quatre dimensions, un événement est repéré par trois coordonnées spatiales, notées x, y et z, et une coordonnée temporelle, notée t. La constante c est la vitesse de la lumière dans le vide. La forme quadratique de Lorentz associe à cet événement le nombre suivant :

Appliquée à la différence entre deux événements, sa valeur est positive pour une séparation de type espace, nulle pour une séparation lumineuse et négative pour une séparation de type temps, avec cette convention de signes. Une transformation de Lorentz est une transformation linéaire qui conserve cette valeur. Elle traduit donc un changement de référentiel inertiel sans modifier l’intervalle d’espace-temps. Cette invariance, mise en évidence par Poincaré, fonde la géométrie de la relativité restreinte et intervient dans la dilatation du temps. D’autres ouvrages prennent l’opposé de cette forme ; la géométrie décrite reste la même si la convention est changée partout de façon cohérente.

Considérons deux événements séparés de 3 secondes-lumière selon l’axe x et de 5 secondes dans le référentiel du laboratoire. Les écarts selon y et z sont nuls. La vitesse relative vaut 0,6 c ; le facteur de Lorentz associé vaut exactement 1,25.

1. En secondes-lumière, le produit c t vaut 5. La forme vaut donc 3² − 5² = −16 secondes-lumière carrées. La séparation est de type temps.

2. Dans le référentiel en mouvement, les nouvelles coordonnées x′ et ct′, exprimées en secondes-lumière, sont obtenues par :
Comme ct′ vaut 4 secondes-lumière, la durée t′ vaut 4 secondes.

3. Le second événement a donc lieu au même endroit que le premier dans ce référentiel. Sa forme vaut 0² − 4² = −16 secondes-lumière carrées.

Le contrôle est direct : les deux calculs donnent exactement −16. La figure représente les deux coordonnées du même événement et l’hyperbole des événements ayant cette même valeur.

En relativité restreinte, on calcule la forme entre deux événements avant de chercher un référentiel particulier. Son signe dit immédiatement si un signal lumineux ou un objet matériel peut relier ces événements. Une distance euclidienne convient à l’espace seul, mais pas à cette question d’espace-temps.

Pour comparer deux horloges en mouvement uniforme, l’invariance relie le temps mesuré dans le laboratoire au temps propre de l’horloge. Dans l’exemple, 5 secondes de laboratoire correspondent à 4 secondes pour l’horloge qui passe par les deux événements.

Pour vérifier une transformation proposée, on remplace les coordonnées par leurs expressions transformées et on contrôle que la forme ne change pas pour tout événement. Tester quelques points ne suffit pas à établir cette identité générale.

Avec la norme euclidienne. Le carré d’une norme euclidienne additionne quatre carrés et n’est nul qu’au vecteur nul. La forme de Lorentz soustrait le carré temporel : un vecteur non nul décrivant la propagation de la lumière peut donc avoir une valeur nulle.

Avec une transformation de Lorentz. La forme attribue un nombre à un vecteur d’espace-temps ; une transformation de Lorentz change ses coordonnées tout en conservant ce nombre. Dans l’exemple, −16 est la valeur de la forme, tandis que le passage de (3, 5) à (0, 4) est la transformation.

Avec l’intervalle d’espace-temps. L’intervalle entre deux événements s’obtient en appliquant la forme à leur différence de coordonnées. La forme est l’objet algébrique ; l’intervalle est son emploi sur une paire d’événements.

Valeur nulle. Une forme nulle ne signifie pas que les deux événements coïncident. Elle signifie que leur séparation est lumineuse : la distance spatiale est exactement égale à c fois la durée. Il faut donc regarder le vecteur, pas seulement le nombre zéro.

Convention de signes. Certains textes écrivent le carré temporel avec un signe positif et les carrés spatiaux avec des signes négatifs. Tous les résultats changent alors de signe. Il faut identifier la convention avant de qualifier une séparation.

Unités mélangées. On ne soustrait pas directement des secondes carrées à des mètres carrés. Le facteur c convertit la durée en longueur. Dans les unités où c = 1, cette conversion devient invisible mais reste implicite.

Paradoxe des jumeaux. L’invariance explique la dilatation du temps sur chaque portion inertielle, mais le voyage complet ne se réduit pas à un unique changement entre deux référentiels inertiels. Le demi-tour du voyageur rompt la symétrie ; il faut comparer les temps propres le long des deux trajets.

L’article Relativité restreinte : une paternité oubliée ? replace les contributions de Lorentz et de Poincaré dans l’histoire de la théorie.