AlgèbreNotion · Glossaire
laplacien d'un champ de vecteurs
Le laplacien d'un champ de vecteurs est un opérateur différentiel du second ordre qui s'applique à un champ vectoriel défini sur un espace euclidien et produit un autre champ vectoriel. Il généralise le laplacien scalaire au cadre vectoriel : pour un champ de vecteurs F = (F₁, F₂, F₃), le laplacien vectoriel est défini composante par composante comme le laplacien de chaque composante scalaire, soit ΔF = (ΔF₁, ΔF₂, ΔF₃). En coordonnées cartésiennes, cette définition est directe ; en coordonnées curvilignes, des termes correctifs supplémentaires apparaissent. On dispose également de l'identité vectorielle ΔF = ∇(∇·F) − ∇×(∇×F), qui décompose le laplacien vectoriel en termes de divergence et de rotationnel. Cet opérateur joue un rôle essentiel en physique mathématique : il intervient notamment dans les équations de Maxwell de l'électromagnétisme, dans les équations de Navier-Stokes de la mécanique des fluides visqueux et dans l'équation des ondes vectorielles.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir le laplacien vectoriel à partir des laplaciens de ses composantes.
- Calculer l’opérateur sur un champ polynomial en coordonnées cartésiennes.
- Vérifier le résultat avec l’identité fondée sur divergence et rotationnel.
- Reconnaître pourquoi la formule cartésienne ne se transpose pas naïvement aux coordonnées curvilignes.
En clair
Imaginez un fluide où une flèche indique, en chaque point, la vitesse et la direction de l’écoulement. Pour savoir comment ce champ se courbe localement, on examine séparément les variations de chacune des composantes de la flèche.
Le laplacien vectoriel rassemble ces trois examens en une nouvelle flèche. Une composante qui varie comme une droite a un laplacien nul ; une composante au profil courbe peut produire une valeur non nulle. L’opérateur décrit ainsi des variations spatiales du second ordre, et non la valeur du champ elle-même.
Définition
Dans un repère cartésien de l’espace euclidien, considérons un champ de vecteurs F dont les trois composantes scalaires sont F1, F2 et F3. Si ces composantes possèdent des dérivées partielles secondes, le laplacien vectoriel de F est le champ obtenu en appliquant le laplacien scalaire à chacune d’elles : .
Pour chaque indice i égal à 1, 2 ou 3, le laplacien de la composante Fi additionne ses dérivées secondes selon les trois coordonnées x, y et z : . Cette écriture composante par composante est directe parce que les vecteurs de base cartésiens ne changent pas d’un point à l’autre. En coordonnées curvilignes, comme les coordonnées cylindriques, appliquer cette même recette aux seules composantes omettrait les termes dus à la variation de la base.
Pour un champ suffisamment régulier en dimension trois, la divergence, notée ∇·F, et le rotationnel, noté ∇×F, donnent aussi l’identité . Cette décomposition relie le laplacien vectoriel aux deux opérateurs du premier ordre employés en physique mathématique. Le laplacien vectoriel intervient notamment dans les équations de Maxwell, de Navier-Stokes et des ondes vectorielles.
Un exemple, pas à pas
On calcule le laplacien d’un champ polynomial.
Donnée 1. Les coordonnées cartésiennes sont x, y et z.
Donnée 2. Le champ est .
Donnée 3. Ses composantes sont F1 = x², F2 = y² et F3 = z².
Donnée 1. Les coordonnées cartésiennes sont x, y et z.
Donnée 2. Le champ est .
Donnée 3. Ses composantes sont F1 = x², F2 = y² et F3 = z².
1. Traiter la première composante. Seule la dérivée seconde selon x est non nulle : .
2. Traiter la deuxième composante. De même, .
3. Traiter la troisième composante. On obtient . Le résultat assemblé est donc , quel que soit le point considéré.
4. Contrôler avec l’identité vectorielle. La divergence de F vaut 2x + 2y + 2z, donc son gradient vaut (2, 2, 2). Le rotationnel de F est le vecteur nul, car chaque composante ne dépend que de sa propre coordonnée. L’identité donne bien (2, 2, 2) − (0, 0, 0).
Le contrôle est refaisable en dérivant deux fois chacun des trois carrés : chaque composante fournit exactement 2. La décomposition visuelle du calcul montre que les trois résultats scalaires sont conservés dans le même ordre pour former le vecteur final.
En pratique
En coordonnées cartésiennes, on calcule le laplacien vectoriel composante par composante lorsque le champ est donné par trois expressions explicites. L’identité avec divergence et rotationnel offre un contrôle indépendant si ces deux opérateurs ont déjà été calculés.
Dans les équations de Maxwell et dans l’équation des ondes vectorielles, l’écriture par divergence et rotationnel met en évidence les deux types de variations du champ. L’écriture composante par composante reste préférable pour un calcul cartésien direct.
Dans les équations de Navier-Stokes d’un fluide visqueux, le laplacien vectoriel s’applique au champ de vitesse. Si le problème est décrit en coordonnées curvilignes, il faut employer la formule adaptée à ces coordonnées plutôt que dériver naïvement chaque composante comme en cartésien.
À ne pas confondre
Le laplacien scalaire. Il reçoit une fonction scalaire et renvoie une fonction scalaire. Le laplacien vectoriel reçoit un champ et renvoie un champ : pour F = (x², y², z²), il réunit les trois laplaciens scalaires dans le vecteur (2, 2, 2).
La divergence. C’est un opérateur du premier ordre qui renvoie un scalaire, tandis que le laplacien vectoriel est du second ordre et renvoie un vecteur. Pour le même champ F, la divergence vaut 2x + 2y + 2z, alors que le laplacien vaut constamment (2, 2, 2).
Le rotationnel. Il est aussi du premier ordre et renvoie un vecteur, mais il ne mesure pas les mêmes variations. Le champ F = (x², y², z²) a un rotationnel nul et un laplacien non nul : ce cas suffit à séparer les deux opérateurs.
Limites et pièges
Coordonnées curvilignes. Le symptôme d’un calcul incomplet est l’application de la formule cartésienne aux composantes cylindriques ou sphériques sans autre terme. Les vecteurs de base changent avec la position ; il faut donc utiliser l’expression du laplacien vectoriel adaptée au système choisi ou repartir de l’identité vectorielle.
Régularité insuffisante. Si une composante ne possède pas de dérivées secondes au point étudié, le laplacien classique n’y est pas défini. Il faut limiter le calcul aux zones où les dérivées requises existent, au lieu d’appliquer formellement la formule.
Laplacien nul. Un résultat nul ne signifie pas que le champ est constant. Par exemple, F(x, y, z) = (x, −y, 0) varie avec x et y, mais ses trois composantes ont des dérivées secondes nulles. Il faut examiner le champ lui-même avant de conclure à l’absence de variation.
Pour aller plus loin
laplacien d'une fonction. Revenir à l’opérateur scalaire appliqué séparément aux trois composantes du champ.
Rotationnel. Approfondir l’opérateur qui intervient dans le second terme de l’identité du laplacien vectoriel.
James Clerk Maxwell. Situer l’électromagnétisme parmi les contextes physiques où apparaît le laplacien vectoriel.
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