AnalyseNotion · Glossaire
Rotationnel
Le rotationnel est un opérateur différentiel vectoriel défini pour un champ de vecteurs F = (F1, F2, F3) dans l'espace tridimensionnel. Il est noté rot F ou curl F et est défini comme le vecteur dont les composantes sont les différences de dérivées partielles croisées. Géométriquement, le rotationnel mesure la tendance d'un champ de vecteurs à faire tourner les éléments de fluide autour d'un point. Si F est de classe C1 et irrotationnel (de rotationnel nul), il dérive localement d'un potentiel scalaire, et est conservatif si le domaine est simplement connexe.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire la formule cartésienne du rotationnel et identifier ses dérivées croisées.
- Calculer le rotationnel du champ F = (−y, x, 0) et contrôler le résultat.
- Interpréter l'axe et le sens du vecteur rotationnel dans un repère direct.
- Distinguer une conclusion locale d'une conclusion globale lorsque le rotationnel est nul.
En clair
Imaginez une minuscule roue à aubes placée dans un courant. Si le courant la fait tourner, le champ de vitesses possède un rotationnel non nul à cet endroit. L'axe du vecteur rotationnel indique l'axe de cette rotation locale, et son sens suit la règle de la main droite. Sa longueur traduit l'intensité de l'effet de rotation.
Le rotationnel ne décrit donc pas la trajectoire complète du courant. Il compare les variations locales de ses composantes autour d'un point.
Définition
Soit un champ de vecteurs F = (F1, F2, F3) défini sur une région ouverte de l'espace à trois dimensions. Si ses composantes possèdent des dérivées partielles premières, son rotationnel est le champ vectoriel obtenu par les différences de dérivées croisées.
Les coordonnées cartésiennes sont notées x, y et z. La notation ∂F3/∂y désigne, par exemple, la dérivée partielle de la troisième composante par rapport à y. On définit alors :
La notation curl F est synonyme de rot F. Le sens du vecteur dépend de l'orientation choisie pour les axes ; dans un repère cartésien direct, il suit la règle de la main droite.
Un champ de classe C1 dont le rotationnel est nul est dit irrotationnel et possède localement un potentiel scalaire. Sur un domaine ouvert simplement connexe, cette propriété donne un potentiel global et le champ est conservatif.
Un exemple, pas à pas
Dans un repère cartésien direct, considérons le champ F dont les composantes sont F1 = −y, F2 = x et F3 = 0. Le champ ne dépend pas de z. Les flèches sont tangentes à des cercles centrés sur l'axe vertical et tournent dans le sens antihoraire lorsqu'elles sont vues depuis les z positifs.
1. Calculons les deux premières composantes du rotationnel. Toutes les dérivées qui font intervenir F3 ou une dérivation par rapport à z sont nulles.
2. Pour la troisième composante, la dérivée de F2 par rapport à x vaut 1, tandis que celle de F1 par rapport à y vaut −1.
3. Leur différence vaut exactement 1 − (−1) = 2.
2. Pour la troisième composante, la dérivée de F2 par rapport à x vaut 1, tandis que celle de F1 par rapport à y vaut −1.
3. Leur différence vaut exactement 1 − (−1) = 2.
On obtient donc :
Le vecteur pointe vers les z positifs, conformément au sens antihoraire observé. Un contrôle direct consiste à refaire les deux seules dérivées non nulles : 1 et −1 donnent toujours 2.
En pratique
En mécanique des fluides, le rotationnel d'un champ de vitesses repère la rotation locale d'une petite roue entraînée par l'écoulement. Si l'on cherche plutôt si le fluide se dilate ou se comprime localement, on emploie la divergence.
Pour tester si un champ de forces de classe C1 peut provenir d'un potentiel scalaire, on calcule d'abord son rotationnel. Un rotationnel non nul en un point exclut l'existence d'un tel potentiel au voisinage de ce point. S'il est nul, il faut encore examiner le domaine avant de conclure à l'existence d'un potentiel global.
Dans les calculs, le choix des coordonnées compte. La formule cartésienne convient au champ de l'exemple ; dans un problème à symétrie cylindrique ou sphérique, on utilise la formule du rotationnel adaptée à ces coordonnées.
À ne pas confondre
Rotationnel et divergence. Le rotationnel d'un champ vectoriel en trois dimensions est un vecteur qui mesure une circulation locale orientée. La divergence est un scalaire qui mesure un comportement local de source ou de puits. Pour F = (−y, x, 0), le rotationnel vaut (0, 0, 2), tandis que la divergence vaut 0.
Rotationnel et rotation globale d'une trajectoire. Une particule peut suivre une courbe sans que le champ tourne localement comme une petite roue. Le critère qui tranche est le calcul des dérivées croisées au point considéré, et non la seule forme visuelle d'une trajectoire.
Limites et pièges
Rotationnel nul, conclusion locale. L'annulation du rotationnel donne localement un potentiel, mais elle ne suffit pas toujours à produire un potentiel unique sur tout le domaine. Il faut vérifier notamment que le domaine est simplement connexe ; un trou peut empêcher la conclusion globale.
Régularité insuffisante. La formule classique exige l'existence des dérivées partielles utilisées. Si une composante présente une singularité ou une discontinuité au point étudié, le rotationnel classique peut ne pas y être défini ; il faut alors exclure ce point ou employer un cadre plus général.
Orientation du repère. Les signes de la formule affichée supposent un repère cartésien direct. Inverser l'orientation change le signe du vecteur associé. Avant d'interpréter son sens, il faut donc fixer l'orientation des axes.
Pour aller plus loin
champ de vecteurs — Situer le type d'objet auquel le rotationnel s'applique et lire ses flèches point par point.
Dérivée partielle — Revoir l'opération utilisée sur chaque composante du champ dans la formule du rotationnel.
produit vectoriel — Approfondir l'opération orientée suggérée par la notation ∇ × F.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres