Helmholtz Hermann

En 1871, Hermann von Helmholtz devient professeur de physique à l'université de Berlin, après avoir enseigné l'anatomie et la physiologie à Königsberg et à Heidelberg. Ce parcours relie les organes des sens, les sons, la lumière et les lois physiques.

Son nom reste attaché à plusieurs outils qui rendent ces liens calculables. Une équation décrit certaines ondes, deux bobines créent un champ magnétique presque uniforme, et une décomposition sépare deux composantes d'un champ vectoriel.

Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821-1894) est un physiologiste et physicien allemand, formé comme médecin militaire. Il enseigne l'anatomie et la physiologie à Königsberg puis à Heidelberg, avant d'occuper une chaire de physique à Berlin à partir de 1871. En physiologie sensorielle, il mesure la vitesse de propagation de l'influx nerveux. Son Manuel d'optique physiologique fait autorité. En acoustique physiologique, sa Théorie physiologique de la musique applique les séries de Fourier à l'analyse des harmoniques sonores et reste une référence majeure durant la première moitié du XX^e siècle.

En physique, Helmholtz formule mathématiquement le principe de conservation de l'énergie, définit l'énergie potentielle et établit des théorèmes sur les tourbillons dans les fluides. Les lois de l'optique géométrique dites de Lagrange-Helmholtz portent aussi son nom.

Cet héritage se lit enfin dans plusieurs objets distincts. L'équation de Helmholtz fait intervenir le laplacien Δ de la fonction inconnue u et un paramètre k : $\mathrm{\Delta }u+k^{2}u=0\backslash Delta\; u+k^2u=0$. Elle apparaît en acoustique, en électromagnétisme et en mécanique quantique. Les bobines de Helmholtz sont deux spires coaxiales donnant un champ magnétique quasi uniforme. L'instabilité de Kelvin-Helmholtz concerne l'interface de deux fluides en mouvement relatif. Le théorème de Helmholtz-Hodge décompose un champ vectoriel en composantes irrotationnelle et solénoïdale.

Considérons une onde sur une ligne, avec la position x mesurée en mètres. Sa fonction est u(x) = cos(kx) = cos[(2 m^-1)x], et son nombre d'onde vaut k = 2 m^-1 (le radian est sans dimension). Dans ce cadre à une dimension, le laplacien devient la dérivée seconde.

1. Dérivons une première fois : $u^{\mathrm{\prime }}(x)=-(2{\mathrm{m}}^{-1})\sin [(2{\mathrm{m}}^{-1})x]u\text{'}(x)=-(2\backslash ,\backslash mathrm\{m\}^\{-1\})\backslash sin[(2\backslash ,\backslash mathrm\{m\}^\{-1\})x]$.
2. Dérivons une seconde fois : $u^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-(4{\mathrm{m}}^{-2})\cos [(2{\mathrm{m}}^{-1})x]u\text{'}\text{'}(x)=-(4\backslash ,\backslash mathrm\{m\}^\{-2\})\backslash cos[(2\backslash ,\backslash mathrm\{m\}^\{-1\})x]$.
3. Comme le carré du nombre d'onde vaut k² = 4 m^-2, remplaçons les deux termes dans l'équation.

La fonction satisfait donc l'équation de Helmholtz sur toute la ligne. Le contrôle se refait en choisissant x = 0 m : u(0) = 1 et u''(0) = -4 m^-2, donc la somme vaut bien 0 m^-2. La courbe associée rend visible une longueur d'onde égale à π m, puisque le motif se répète entre x = 0 et x = π.

En acoustique, l'équation de Helmholtz intervient lorsque l'on étudie une oscillation à fréquence fixée. Si le son varie encore dans le temps, une équation d'onde dépendant du temps est plus adaptée.

Pour obtenir une zone où le champ magnétique varie peu, on emploie deux spires coaxiales formant des bobines de Helmholtz. Une seule bobine suffit si l'uniformité du champ dans une zone centrale n'est pas le critère recherché.

Dans l'étude des sons, une décomposition en séries de Fourier isole les harmoniques. Le geste utile consiste à comparer leurs fréquences et leurs contributions plutôt qu'à considérer le signal comme un bloc indivisible.

Équation de Helmholtz et équation d'onde. La première porte ici sur l'amplitude spatiale d'une oscillation à fréquence fixée ; la seconde décrit aussi son évolution temporelle. Une fonction u(x) sans variable de temps, comme cos(2x), relève du premier cadre.

Helmholtz-Hodge et Kelvin-Helmholtz. Le premier nomme une décomposition en analyse vectorielle ; le second une instabilité à l'interface de fluides en mouvement relatif. La présence d'une interface entre deux écoulements tranche en faveur de l'instabilité.

Bobines de Helmholtz et équation de Helmholtz. Les bobines sont un dispositif matériel de deux spires coaxiales ; l'équation est une relation mathématique. Une expérience visant un champ magnétique quasi uniforme concerne le dispositif, pas seulement l'équation.

Le nom « Helmholtz » ne suffit pas à identifier un objet unique. Le symptôme du piège est une phrase qui passe des bobines à l'équation ou au théorème comme s'il s'agissait du même résultat. Il faut toujours préciser l'entité concernée et son domaine.

Dans l'exemple u(x) = cos(2x), la relation u'' + 4u = 0 vaut sur toute la ligne, mais elle ne fixe pas à elle seule une solution unique. Sans conditions imposées aux bords ou valeurs initiales adaptées au problème, plusieurs fonctions satisfont la même équation.

Le champ produit par les bobines de Helmholtz est dit quasi uniforme, et non parfaitement uniforme partout. Le signe d'alerte est l'extension de cette propriété à tout l'espace ; il faut limiter l'affirmation à la zone où les variations sont effectivement faibles.

La décomposition de Helmholtz-Hodge demande un cadre mathématique précis pour garantir existence et unicité des composantes. Sur un domaine quelconque, les conditions au bord, la régularité du champ et d'éventuelles composantes harmoniques ne peuvent pas être laissées implicites.

La série de Fourier approfondit la décomposition en harmoniques employée par Helmholtz pour analyser les sons.

L'article Acoustique et informatique musicale prolonge le lien entre analyse du son, mathématiques et traitement musical.