Schwarz Hermann

En 1865, Hermann Amandus Schwarz relie deux domaines qui occupent ses recherches : l’analyse et la géométrie. Il étudie les surfaces minimales, comparables à des formes qui cherchent à réduire leur aire, et les fonctions analytiques.

Son nom reste attaché à plusieurs outils distincts. L’inégalité de Cauchy-Schwarz borne un produit scalaire, tandis que le théorème de Schwarz précise quand deux dérivations partielles successives peuvent être interverties. Cette diversité résume une œuvre placée au croisement des formes et des fonctions.

Hermann Amandus Schwarz est un mathématicien allemand né en 1843 à Hermsdorf, en Silésie, aujourd’hui Jerzmanowa en Pologne, et mort en 1921. À Berlin, il passe de la chimie aux mathématiques sous la direction de Kummer et de Weierstrass. Il obtient son doctorat en 1864, puis son habilitation en 1867.

Son parcours relie analyse et géométrie. Dès 1865, il rapproche les fonctions analytiques et les surfaces minimales avec la surface minimale qui porte son nom. En 1870, il résout le problème de Dirichlet en dimension 2 et prolonge les travaux de Riemann sur les transformations conformes. Il travaille aussi sur le problème isopérimétrique en dimension 3 et emploie une méthode d’approximations successives, ensuite reprise par Émile Picard pour l’existence de solutions d’équations différentielles.

Après avoir enseigné à Halle, Zurich et Göttingen, Schwarz succède à Weierstrass à Berlin en 1892 et y reste jusqu’à sa retraite en 1917. Son nom apparaît notamment dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz, aussi appelée inégalité de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, et dans le théorème de Schwarz sur les dérivées partielles croisées. Ces deux résultats sont distincts et demandent chacun leurs propres hypothèses.

Prenons deux vecteurs du plan : le vecteur u a pour coordonnées (1, 2), et le vecteur v a pour coordonnées (3, 4). Leur produit scalaire vaut 1 × 3 + 2 × 4, soit 11. La norme de u vaut √5 et celle de v vaut 5.

1. On calcule le carré du produit scalaire : 11² = 121.
2. On calcule le produit des carrés des normes : 5 × 25 = 125.
3. Comme 121 ≤ 125, on obtient 11 ≤ 5√5.

L’inégalité de Cauchy-Schwarz est donc vérifiée. Le contrôle peut se refaire sans valeur décimale en comparant les carrés, tous deux positifs. L’égalité n’a pas lieu ici, car (1, 2) n’est pas un multiple de (3, 4). La figure traduit les mêmes coordonnées dans un repère commun.

Pour borner un produit scalaire sans calculer précisément l’angle entre deux vecteurs, l’inégalité de Cauchy-Schwarz compare ce produit aux deux normes. Un calcul direct reste préférable lorsque toutes les coordonnées sont simples et que l’on cherche la valeur exacte.

Pour étudier une surface qui minimise une aire sous une contrainte donnée, les travaux de Schwarz orientent vers la théorie des surfaces minimales. Une simple comparaison de dessins ne suffit pas : la contrainte et la grandeur optimisée doivent être précisées.

Pour intervertir deux dérivées partielles croisées, le théorème de Schwarz fournit un critère. Si ses hypothèses de régularité ne sont pas établies, il faut calculer les deux dérivées séparément au lieu de supposer leur égalité.

Inégalité de Cauchy-Schwarz et théorème de Schwarz. La première borne un produit scalaire par un produit de normes. Le second concerne l’ordre de dérivations partielles. Dans l’exemple des vecteurs (1, 2) et (3, 4), c’est l’inégalité qui s’applique.

Surface minimale de Schwarz et problème isopérimétrique. La surface minimale est un objet géométrique portant son nom. Le problème isopérimétrique est une question d’optimisation sous contrainte ; évoquer une aire et un volume ne suffit donc pas à identifier la surface de Schwarz.

Le cas d’égalité dans Cauchy-Schwarz. Pour deux vecteurs, l’égalité apparaît lorsqu’ils sont colinéaires, y compris si l’un est nul. Si 11 est remplacé abusivement par 5√5 dans l’exemple, la colinéarité annoncée contredit aussitôt les coordonnées.

Les dérivées croisées. Le nom « théorème de Schwarz » ne dispense pas de vérifier les hypothèses de régularité. Si aucune condition suffisante n’est établie, telle la continuité des dérivées secondes au voisinage du point étudié, il faut éviter d’intervertir automatiquement les dérivations.

La formulation isopérimétrique. Minimiser une aire et maximiser un volume ne se font pas simultanément sans contrainte fixée. Il faut préciser si le volume est imposé et l’aire minimisée, ou si l’aire est imposée et le volume maximisé.

Une attribution partagée. L’appellation Cauchy-Bunyakovski-Schwarz signale que le nom de Schwarz n’est pas la seule désignation attachée à l’inégalité. Pour une recherche documentaire, il faut conserver les trois formes du nom plutôt que conclure à trois résultats différents.

L’inégalité de Cauchy-Schwarz permet d’approfondir le résultat associé au nom de Schwarz, ses hypothèses et ses cas d’égalité.