inégalité de Cauchy-Schwarz

Imaginez deux flèches : l’une mesure leur longueur, l’autre indique combien elles vont dans la même direction. Leur accord ne peut jamais dépasser le produit de leurs longueurs. C’est l’idée de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Deux flèches parfaitement alignées, dans le même sens ou en sens opposé, atteignent la borne. Si elles ne sont pas alignées, l’accord en valeur absolue diminue ; si elles sont perpendiculaires, il devient nul. Le même principe encadre aussi des sommes de nombres et des intégrales de fonctions.

L’inégalité de Cauchy-Schwarz est une majoration du produit scalaire de deux vecteurs par leurs longueurs. Dans un espace préhilbertien réel ou complexe, on choisit deux vecteurs nommés x et y. Leur produit scalaire est noté $⟨x,y⟩\backslash langle\; x,y\backslash rangle$, et la norme associée d’un vecteur x est notée $\parallel x\parallel \backslash lVert\; x\backslash rVert$.

La valeur absolue, ou le module dans le cas complexe, du produit scalaire ne dépasse pas le produit des deux normes. L’égalité a lieu exactement lorsque les deux vecteurs sont linéairement liés, y compris lorsque l’un des deux est nul. Dans un espace complexe, le produit scalaire est hermitien et fait intervenir une conjugaison selon la convention choisie.

Pour des suites finies réelles, cette règle borne le module d’une somme de produits par le produit des racines carrées des sommes de carrés. Pour des suites complexes, la somme est le produit hermitien et conjugue les termes de l’une des deux suites, selon la convention choisie. Pour des fonctions réelles continues sur [0, 1], elle borne de même l’intégrale de |fg| par le produit des normes quadratiques de f et g. On rencontre ainsi le même résultat en algèbre linéaire, dans les séries et en intégration. Les noms de Cauchy, Bunyakovski et Schwarz rappellent des établissements ou généralisations indépendants du résultat.

Soit H un espace préhilbertien et soient x et y deux vecteurs de H. Alors :

Le membre de gauche mesure le module du produit scalaire ; les deux facteurs de droite sont les normes des vecteurs. L’égalité vaut si et seulement si x et y sont linéairement liés.

Il faut disposer d’un espace vectoriel réel ou complexe muni d’un produit scalaire défini positif. Les deux objets comparés doivent appartenir à cet espace, et leurs normes doivent être celles induites par ce même produit scalaire. Pour la variante intégrale sur [0, 1], les fonctions considérées doivent avoir un carré intégrable ; la continuité réelle donnée dans la définition source garantit cette condition.

Dans un espace vectoriel muni seulement d’une norme quelconque, l’expression « produit scalaire » peut ne pas être définie : l’énoncé ne s’applique donc pas tel quel. Il faut d’abord préciser un produit scalaire compatible, ou employer une inégalité adaptée aux données disponibles.

Dans le plan euclidien, prenons le vecteur x de coordonnées (1, 2) et le vecteur y de coordonnées (2, 1). Les données sont donc x₁ = 1, x₂ = 2, y₁ = 2 et y₂ = 1.

1. Le produit scalaire vaut 1 × 2 + 2 × 1 = 4.

2. La norme de x vaut √(1² + 2²) = √5, et celle de y vaut √(2² + 1²) = √5.

3. Le produit des normes vaut √5 × √5 = 5. La comparaison obtenue est donc |4| ≤ 5. La figure rend visibles les deux vecteurs et cette marge d’une unité.

Le contrôle est immédiat : les coordonnées (1, 2) et (2, 1) ne sont pas proportionnelles. Les vecteurs ne sont donc pas linéairement liés, ce qui concorde avec l’inégalité stricte 4 < 5.

En géométrie vectorielle, l’inégalité contrôle un produit scalaire à partir de deux longueurs connues. Si l’on cherche une longueur de somme, l’inégalité triangulaire est plus directe ; Cauchy-Schwarz est préférable lorsque le produit scalaire est l’expression visible.

Pour une somme de produits, elle remplace un calcul terme à terme par deux sommes de carrés. Ce choix est utile lorsque ces deux sommes sont simples à évaluer ou déjà bornées.

Pour des fonctions, elle borne une intégrale de produit à partir de deux intégrales de carrés. Si les fonctions ne sont pas de carré intégrable, il faut choisir une autre estimation adaptée à leur intégrabilité.

Avec l’inégalité triangulaire. Celle-ci compare la norme d’une somme à la somme des normes : $\parallel x+y\parallel \le \parallel x\parallel +\parallel y\parallel \backslash lVert\; x+y\backslash rVert\; \backslash leq\; \backslash lVert\; x\backslash rVert+\backslash lVert\; y\backslash rVert$. Si l’expression à borner est $⟨x,y⟩\backslash langle\; x,y\backslash rangle$, c’est Cauchy-Schwarz qui s’applique ; si c’est x + y, le critère désigne l’inégalité triangulaire.

Avec l’inégalité de Hölder. Hölder relie des exposants conjugués plus généraux. Lorsque les deux exposants valent 2, elle redonne la forme intégrale de Cauchy-Schwarz ; avec d’autres exposants, l’énoncé et les normes employés changent.

Vecteur nul. Si x ou y est nul, les deux membres valent 0. L’égalité n’indique alors aucune direction commune visible, mais les vecteurs restent bien linéairement liés au sens algébrique.

Cas complexe. Une somme écrite sans conjugaison n’est pas nécessairement le produit scalaire hermitien. Il faut appliquer la convention du produit scalaire choisi, puis prendre son module.

Deux formes discrètes. La borne du module de la somme $\mathrm{\mid }{\sum }_k\overline{u_k}{v}_k\mathrm{\mid }|\backslash sum\_k\; \backslash overline\{u\_k\}v\_k|$ est la forme usuelle du produit scalaire. La borne plus forte terme à terme ${\sum }_k\mathrm{\mid }{u}_k{v}_k\mathrm{\mid }\backslash sum\_k\; |u\_kv\_k|$ est aussi vraie, mais son égalité exige que les suites de modules soient proportionnelles ; les phases n’ont pas à coïncider.

Intégrale. Une intégrale finie de f ou de g ne suffit pas à elle seule. Il faut contrôler leurs carrés ; sans cette propriété, la borne quadratique peut être infinie ou inutilisable.

produit scalaire — Pour approfondir l’opération que Cauchy-Schwarz borne et son interprétation géométrique.

norme — Pour distinguer une longueur issue d’un produit scalaire d’une norme plus générale.

Préhilbertien (espace vectoriel) — Pour situer précisément le cadre naturel de l’inégalité.

L’inégalité de Cauchy‒Schwarz — Pour prolonger la fiche par un article entièrement consacré au résultat.