Polarisation (identités de)

Prenons deux flèches : u = (2, 1) et v = (1, −1). Sans mesurer directement leur angle, on peut connaître leur produit scalaire. Il suffit de comparer les longueurs des flèches obtenues en les additionnant et en les soustrayant.

Ici, u + v a une longueur au carré égale à 9, tandis que u − v donne 5. Le quart de la différence vaut 1 : c'est précisément le produit scalaire de u et v. La polarisation fait ainsi réapparaître l'information sur leur orientation relative à partir de longueurs.

Soit B une forme bilinéaire symétrique sur un espace vectoriel réel, et soit Q la forme quadratique associée, définie pour tout vecteur x par $Q(x)=B(x,x)Q(x)=B(x,x)$. L'identité de polarisation reconstruit la valeur croisée B(u, v) à partir des seules valeurs de Q : $B(u,v)=\frac{1}{2}(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))B(u,v)=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash bigl(Q(u+v)-Q(u)-Q(v)\backslash bigr)$. Lorsque Q(x) est le carré de la norme de x, une forme équivalente utilise la somme et la différence des deux vecteurs.

Dans un espace préhilbertien complexe, la norme détermine aussi le produit scalaire hermitien, mais deux différences de carrés sont nécessaires pour retrouver ses parties réelle et imaginaire. Avec la convention où le produit hermitien est linéaire dans sa première variable, on a $⟨u,v⟩=\frac{1}{4}(\parallel u+v{\parallel }^2-\parallel u-v{\parallel }^2)+\frac{i}{4}(\parallel u+iv{\parallel }^2-\parallel u-iv{\parallel }^2)\backslash langle\; u,v\backslash rangle=\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash bigl(\backslash lVert\; u+v\backslash rVert^2-\backslash lVert\; u-v\backslash rVert^2\backslash bigr)+\backslash frac\{i\}\{4\}\backslash bigl(\backslash lVert\; u+iv\backslash rVert^2-\backslash lVert\; u-iv\backslash rVert^2\backslash bigr)$. Si la convention de linéarité porte sur la seconde variable, le signe du terme imaginaire change.

Dans un espace préhilbertien réel, soient u et v deux vecteurs et soit ‖x‖ la norme issue du produit scalaire. Alors le produit scalaire se calcule par l'identité :

On forme donc u + v et u − v, on calcule le carré de leur norme, puis on divise leur différence par 4.

La formule réelle s'applique lorsque la norme provient d'un produit scalaire, ou lorsqu'une forme quadratique Q provient d'une forme bilinéaire symétrique. Les deux vecteurs doivent appartenir au même espace, et les calculs doivent employer cette même norme. Sur un corps de caractéristique différente de 2, la division par 2 ou par 4 est permise.

Une norme arbitraire ne suffit pas. Dans ℝ² muni de la norme ‖(x, y)‖₁ = |x| + |y|, les vecteurs (1, 0) et (0, 1) donnent 8 à gauche de l'identité du parallélogramme, contre 4 à droite. Cette norme ne vient donc d'aucun produit scalaire ; il faut employer sa définition propre plutôt que la polariser.

Dans le plan euclidien, on prend les vecteurs u = (2, 1) et v = (1, −1).
Données : u + v = (3, 0) ; u − v = (1, 2).

1. Le carré de la norme de la somme vaut ‖u + v‖² = 3² + 0² = 9.

2. Le carré de la norme de la différence vaut ‖u − v‖² = 1² + 2² = 5.

3. La polarisation donne $⟨u,v⟩=\frac{9-5}{4}=1\backslash langle\; u,v\backslash rangle=\backslash frac\{9-5\}\{4\}=1$. Les deux longueurs au carré et leur différence sont représentables dans un même repère.

Le résultat se contrôle directement avec les coordonnées : 2 × 1 + 1 × (−1) = 1. Les deux calculs donnent exactement le même produit scalaire.

En géométrie euclidienne, la polarisation retrouve un produit scalaire lorsque les longueurs de u + v et u − v sont plus accessibles que l'angle entre u et v. Si les coordonnées sont disponibles, le calcul coordonnée par coordonnée est souvent plus direct.

Pour tester si une norme peut provenir d'un produit scalaire, on vérifie d'abord l'identité du parallélogramme. Si elle échoue pour une seule paire de vecteurs, la formule de polarisation ne définit pas le produit scalaire recherché.

En algèbre, la formule extrait les termes croisés d'une forme quadratique. Le développement polynomial est une alternative pratique lorsque l'expression de Q est déjà donnée en coordonnées.

Identité du parallélogramme. Elle relie quatre normes par $\parallel u+v{\parallel }^2+\parallel u-v{\parallel }^2=2\parallel u{\parallel }^2+2\parallel v{\parallel }^2\backslash lVert\; u+v\backslash rVert^2+\backslash lVert\; u-v\backslash rVert^2=2\backslash lVert\; u\backslash rVert^2+2\backslash lVert\; v\backslash rVert^2$. Elle teste si une norme est compatible avec un produit scalaire ; l'identité de polarisation, elle, en calcule la valeur croisée.

Polarisation de la lumière. Elle décrit l'orientation de l'oscillation d'une onde électromagnétique. Une question portant sur des vecteurs, une norme ou une forme quadratique relève des identités algébriques ; une question portant sur filtres, ondes ou champ électrique relève de l'optique.

Norme non hilbertienne. Si l'identité du parallélogramme échoue, polariser la norme ne produit pas un produit scalaire. Le contre-cas de la norme ‖·‖₁ dans ℝ² donne 8 au lieu de 4 ; ce seul écart suffit à conclure.

Cadre complexe. La différence ‖u + v‖² − ‖u − v‖² ne retrouve que la partie réelle du produit hermitien. Il faut aussi utiliser u + iv et u − iv, en respectant la variable choisie comme linéaire.

Forme non symétrique. La valeur Q(x) = B(x, x) ne voit pas la partie antisymétrique d'une forme bilinéaire B. La polarisation reconstruit seulement sa partie symétrique ; plusieurs formes non symétriques peuvent donc avoir la même diagonale.

Le prolongement naturel consiste à étudier la caractérisation des normes issues d'un produit scalaire : une norme vérifiant l'identité du parallélogramme engendre, par polarisation, un produit scalaire unique. Dans le cadre complexe, cette caractérisation conduit à un espace préhilbertien, qui est un espace de Hilbert s'il est complet, et impose de suivre explicitement la convention de linéarité du produit hermitien.