Frobenius Ferdinand Georg

En 1870, à Berlin, Ferdinand Georg Frobenius soutient son doctorat après avoir travaillé auprès de Kronecker, Kummer et Weierstrass. Ce mathématicien allemand, né en 1849, va ensuite enseigner à Berlin puis au Polytechnikum de Zürich.

Son apport majeur consiste à regarder un groupe à travers des représentations et leurs caractères. Ces outils donnent une autre façon d'en étudier la structure. Frobenius travaille aussi sur les matrices, l'analyse et la théorie des nombres algébriques.

Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917) est un mathématicien allemand. Il commence ses études supérieures à Göttingen, les poursuit à Berlin auprès de Kronecker, Kummer et Weierstrass, puis soutient son doctorat en 1870. Il enseigne ensuite à Berlin et au Polytechnikum de Zürich.

Ses contributions principales concernent la théorie des groupes et les structures algébriques. Il redémontre les théorèmes de Sylow pour les groupes abstraits, au-delà du seul cadre des groupes de permutations. Il développe la théorie des représentations de groupes et introduit la notion de caractère d'une représentation. Ces recherches conduisent à la réciprocité de Frobenius et aux groupes de Frobenius.

Le théorème de Frobenius, démontré indépendamment par Charles Sanders Peirce, classe les algèbres à division associatives réelles de dimension finie — donc non nulles, unitaires et dans lesquelles tout élément non nul est inversible : les seules sont les réels, les complexes et les quaternions de Hamilton. Frobenius donne aussi, en 1878, la première démonstration complète du théorème de Cayley-Hamilton. En analyse, ses recherches portent sur les fonctions elliptiques, les équations aux dérivées partielles, la fonction zêta de Riemann et la théorie des nombres algébriques.

Prenons le théorème de Frobenius cité dans la notice et appliquons-le à une algèbre familière : A est l'algèbre des nombres réels, avec l'addition et la multiplication usuelles. Vérifions successivement son corps de base, sa dimension, l'associativité de son produit et sa structure d'algèbre à division.

1. Le corps de base est bien celui des nombres réels : A est ici considérée comme une algèbre sur les réels. Le théorème présenté ne classe pas les algèbres prises sur un autre corps.

2. La multiplication usuelle des nombres réels est associative. De plus, A est de dimension 1 sur les réels : sa dimension est donc finie.

3. Enfin, A est une algèbre à division : elle n'est pas nulle, le nombre 1 est son unité et tout réel non nul x possède un inverse, 1/x. Les quatre conditions sont donc réunies. Le théorème ne laisse alors que trois possibilités :

Le symbole A désigne l'algèbre étudiée, et le signe de congruence signifie ici « est isomorphe à ». Dans notre cas, A est précisément l'algèbre des réels : on obtient donc la première possibilité. Si une seule hypothèse manque pour une autre algèbre, cette classification ne peut pas être invoquée à partir de l'énoncé donné.

Pour suivre l'histoire de la théorie des groupes, on repère le passage opéré par Frobenius : ses nouvelles démonstrations des théorèmes de Sylow concernent les groupes abstraits, et non plus seulement les groupes de permutations.

Pour identifier son apport propre aux représentations, le critère est le caractère d'une représentation. La source l'associe à Frobenius et le présente comme un outil fondamental de l'étude structurelle des groupes.

Pour situer Frobenius en algèbre linéaire, le repère précis est 1878 : cette année correspond à sa première démonstration complète du théorème de Cayley-Hamilton. Le théorème de classification des algèbres relève d'un autre apport.

Le théorème de Frobenius et les groupes de Frobenius ne désignent pas le même résultat. Le premier classe certaines algèbres réelles ; les seconds apparaissent dans les recherches de Frobenius sur les représentations de groupes. Le type d'objet étudié, algèbre ou groupe, tranche l'ambiguïté.

La réciprocité de Frobenius et le caractère d'une représentation sont deux notions distinctes issues du même programme de recherche. La source présente le caractère comme une notion introduite par Frobenius, tandis que la réciprocité est un aboutissement de ces travaux.

Le théorème de Cayley-Hamilton n'est pas le théorème de Frobenius sur les algèbres. Frobenius donne en 1878 une démonstration complète du premier ; le second porte son nom et admet aussi une démonstration indépendante de Charles Sanders Peirce.

Le théorème de classification exige simultanément une algèbre réelle, associative, de dimension finie et à division, c'est-à-dire non nulle, unitaire et dans laquelle tout élément non nul est inversible. Le symptôme d'un emploi trop large est l'oubli d'une de ces hypothèses ; il faut alors suspendre la conclusion limitée aux réels, aux complexes et aux quaternions.

La source date précisément le doctorat de 1870 et la démonstration complète de Cayley-Hamilton de 1878, mais ne date pas séparément les autres contributions. Il faut éviter de rattacher à l'une de ces années les représentations, les caractères, la réciprocité ou les groupes de Frobenius.

La démonstration indépendante de Charles Sanders Peirce interdit de transformer l'attribution du théorème en récit de priorité exclusive. La formulation sûre conserve les deux noms et ne déduit aucun ordre de découverte que la source ne fournit pas.

L'étendue des sujets d'analyse énumérés ne signifie pas qu'un résultat précis soit décrit pour chacun. La source nomme les fonctions elliptiques, les équations aux dérivées partielles, la fonction zêta de Riemann et la théorie des nombres algébriques ; elle ne détaille pas ici ces travaux.

Trois notions citées dans le parcours de Frobenius permettent de prolonger la lecture vers des objets mathématiques précis.

théorème de Cayley-Hamilton précise le résultat matriciel dont Frobenius donna la première démonstration complète en 1878.

Quaternion présente l'une des trois structures retenues par le théorème de classification attribué à Frobenius.

P-sylow prolonge l'étude des théorèmes que Frobenius redémontra dans le cadre des groupes abstraits.