Cayley Arthur

En 1854, après une formation à Cambridge, Arthur Cayley est encore avocat lorsqu'il pose les bases d'une théorie abstraite des groupes. Il ne se contente plus d'étudier des permutations : il cherche ce que toutes les structures de ce genre ont en commun.

Son parcours relie ainsi des objets aujourd'hui familiers dans de nombreux cours : matrices, espaces vectoriels, groupes et géométries. Le théorème de Cayley-Hamilton en donne une image concrète : une matrice carrée satisfait l'équation construite à partir de son propre polynôme caractéristique.

Arthur Cayley (1821-1895) est un mathématicien britannique et une figure centrale des mathématiques du XIX^e siècle. Formé à Cambridge, il travaille quatorze ans comme avocat tout en publiant environ deux cent cinquante articles mathématiques. Il devient en 1863 professeur de mathématiques pures à Cambridge, malgré une rémunération inférieure à celle de sa carrière juridique. Membre de la Royal Society depuis 1852, il compte parmi les fondateurs de l'école britannique moderne de mathématiques pures.

Cayley est considéré comme l'un des inventeurs du calcul matriciel et comme le fondateur de la théorie autonome des matrices. Dès 1854, il étend l'étude des groupes au-delà des seuls groupes de permutations et contribue à leur formulation abstraite. Ses recherches portent aussi sur la géométrie de dimension n, la géométrie non euclidienne et la géométrie projective, avec des prolongements durables en mathématiques et en physique.

Son nom demeure attaché aux octonions, aussi appelés octaves de Cayley, au graphe de Cayley, à la surface cubique réglée de Cayley et à deux théorèmes distincts. Le théorème de Cayley affirme que tout groupe est isomorphe à un sous-groupe d'un groupe symétrique. Le théorème de Cayley-Hamilton affirme que, pour toute matrice carrée A et son polynôme caractéristique p_A, $p_A(A)=0p\_A(A)=0$. Le zéro désigne ici la matrice nulle de même taille que A.

Vérifions le théorème de Cayley-Hamilton sur une matrice carrée simple. La donnée est la matrice A d'ordre 2 : Son polynôme caractéristique sera noté p_A, et I désignera la matrice identité d'ordre 2.

1. On calcule le déterminant de la matrice λI − A :

2. On élève A au carré :

3. On remplace la variable λ par la matrice A dans le polynôme :

4. Le calcul terme à terme donne :

Le résultat est bien la matrice nulle. Pour refaire le contrôle, il suffit de vérifier séparément les quatre coefficients : 1 − 3 + 2 = 0, 3 − 3 + 0 = 0, 0 − 0 + 0 = 0 et 4 − 6 + 2 = 0.

Face à une matrice carrée, le théorème de Cayley-Hamilton fournit une égalité matricielle à vérifier à partir du polynôme caractéristique. Si la matrice n'est pas carrée, ce théorème n'est pas l'outil adapté, car son polynôme caractéristique n'est pas défini dans ce cadre.

Face à un groupe abstrait, le théorème de Cayley autorise une représentation par permutations. On choisit ce point de vue lorsque l'on veut suivre concrètement l'action des éléments ; un graphe de Cayley met plutôt en évidence les déplacements produits par un ensemble de générateurs.

Dans un texte historique, le nom « Cayley » ne suffit donc jamais à identifier l'objet étudié. Le bon réflexe consiste à relever le contexte : matrice, groupe, graphe, octonions, surface cubique ou géométrie.

Théorème de Cayley et théorème de Cayley-Hamilton. Le premier porte sur les groupes : il les représente dans un groupe symétrique. Le second porte sur les matrices carrées : il substitue une matrice dans son polynôme caractéristique. La nature de l'objet, groupe ou matrice, tranche immédiatement.

Graphe de Cayley et surface de Cayley. Le graphe encode un groupe et ses générateurs par des sommets et des arêtes. La surface de Cayley est une surface réglée du troisième ordre. Un dessin fait de connexions entre éléments relève du premier ; une surface cubique relève de la seconde.

Dire qu'une matrice est « racine » de son polynôme caractéristique ne signifie pas que ses coefficients sont des nombres annulant ce polynôme. Il faut remplacer la variable par la matrice entière, les constantes par des multiples de l'identité, puis obtenir la matrice nulle.

Le polynôme caractéristique et le théorème de Cayley-Hamilton concernent ici les matrices carrées. Une matrice de 2 lignes et 3 colonnes signale immédiatement que cette substitution n'est pas définie de la même manière ; il faut d'abord revenir à l'application linéaire et à ses espaces de départ et d'arrivée.

Le calcul sur la matrice d'ordre 2 illustre le théorème, mais ne démontre pas l'énoncé pour toutes les tailles et tous les coefficients. Il contrôle un cas précis ; une preuve générale doit traiter une matrice carrée arbitraire.

Le théorème de Cayley ne dit pas qu'un groupe abstrait est littéralement un groupe de permutations déjà donné. Il affirme l'existence d'un isomorphisme avec un sous-groupe d'un groupe symétrique : la structure est conservée, mais la représentation change.

Le théorème de Cayley-Hamilton permet d'approfondir l'identité matricielle vérifiée dans l'exemple et d'en préciser la portée générale.

L'espace vectoriel replace les matrices dans le cadre des applications linéaires auquel elles servent de représentations.

La géométrie projective ouvre l'un des domaines géométriques auxquels les travaux de Cayley ont donné des perspectives durables.

L'article Les débuts des groupes situe l'émergence de la théorie des groupes dans son histoire mathématique.