Hölder Otto

En 1877, Otto Ludwig Hölder entre à l’université de Berlin, où il suit les cours de Klein, Kummer et Weierstrass. Son nom relie aujourd’hui plusieurs idées : comparer une somme à deux mesures de taille, décrire la régularité d’une fonction et réunir plusieurs sortes de moyennes.

Le même mathématicien a aussi travaillé sur la structure des groupes et sur la fonction gamma d’Euler. Une recherche sur « Hölder » peut donc mener à une personne, une inégalité, une condition de régularité, une moyenne ou un théorème ; le contexte indique lequel de ces héritages est en jeu.

Otto Ludwig Hölder est un mathématicien allemand né en 1859 et mort en 1937. Entré à l’université de Berlin en 1877, il y reçoit les enseignements de Felix Klein, Ernst Eduard Kummer et Karl Weierstrass. Il soutient en 1882, à l’université de Tübingen et sous la direction de Paul du Bois-Reymond, une thèse intitulée Beiträge zur Potentialtheorie. Il enseigne ensuite à Göttingen, puis à Leipzig jusqu’à sa retraite.

En analyse, son nom est attaché à plusieurs outils. Pour deux exposants réels p et q strictement supérieurs à 1 tels que leurs inverses aient pour somme 1, l’inégalité de Hölder borne le produit terme à terme de deux familles finies indexées par un même ensemble I : ${\sum }_{i\in I}\mathrm{\mid }{a}_i{b}_i\mathrm{\mid }\le {\left({\sum }_{i\in I}\mathrm{\mid }{a}_i{\mathrm{\mid }}^p\right)}^{1\mathrm{/}p}{\left({\sum }_{i\in I}\mathrm{\mid }{b}_i{\mathrm{\mid }}^q\right)}^{1\mathrm{/}q}\backslash sum\_\{i\; \backslash in\; I\}\; |a\_i\; b\_i|\; \backslash leq\; \backslash left(\backslash sum\_\{i\; \backslash in\; I\}\; |a\_i|^p\backslash right)^\{1/p\}\; \backslash left(\backslash sum\_\{i\; \backslash in\; I\}\; |b\_i|^q\backslash right)^\{1/q\}$. Le cas p = q = 2 est l’inégalité de Cauchy-Schwarz. La condition de Hölder mesure la régularité d’une fonction définie sur un espace métrique (X, d) : avec un exposant α compris entre 0 exclu et 1 inclus et une constante C positive, pour tous x et y de X, l’écart des valeurs est borné par $\mathrm{\mid }f(x)-f(y)\mathrm{\mid }\le Cd(x,y{)}^{\alpha }|f(x)-f(y)|\; \backslash leq\; C\backslash ,d(x,y)^\backslash alpha$. Une norme de Hölder associe cette information de régularité à la taille de la fonction ; ces outils interviennent notamment en analyse numérique et en physique mathématique.

La moyenne de Hölder, ou moyenne d’ordre p, rassemble notamment les moyennes harmonique, géométrique, arithmétique et quadratique en faisant varier p, avec un passage par continuité au cas géométrique. En théorie des groupes, les travaux de Hölder sur les groupes simples finis conduisent notamment au théorème de Jordan-Hölder sur les suites de composition. Un autre théorème portant son nom affirme que la fonction gamma d’Euler ne satisfait aucune équation différentielle algébrique.

Vérifions l’inégalité de Hölder dans son cas p = q = 2. Prenons deux suites de deux nombres : la première vaut 1 puis 2, et la seconde 2 puis 1. Les exposants sont conjugués, car 1/2 + 1/2 = 1.

1. Les produits terme à terme valent 1 × 2 = 2 et 2 × 1 = 2.
2. Leur somme vaut donc 2 + 2 = 4.
3. La taille quadratique de la première suite vaut √(1² + 2²) = √5.
4. La seconde a la même taille : √(2² + 1²) = √5.
5. Le produit des deux tailles vaut √5 × √5 = 5.

On obtient bien 4 ≤ 5. Le contrôle est refaisable sans approximation : les deux carrés sous chaque racine totalisent exactement 5. L’inégalité est stricte ici ; les suites ne sont pas proportionnelles, puisque passer de 1 à 2 ne multiplie pas les deux termes par un même nombre.

Pour majorer une somme de produits, on choisit l’inégalité de Hölder lorsque les données sont naturellement mesurées avec deux exposants conjugués. Si les deux exposants valent 2, l’inégalité de Cauchy-Schwarz donne exactement le même cadre.

Pour décrire la régularité d’une fonction, on compare l’écart entre deux valeurs à une puissance de la distance entre leurs entrées. Une borne proportionnelle à la distance correspond au cas α = 1 ; une puissance α strictement comprise entre 0 et 1 autorise une variation moins régulière tout en gardant un contrôle quantifié.

Pour choisir une moyenne de Hölder de valeurs strictement positives, l’ordre p indique le poids relatif donné aux grandes et aux petites valeurs : quand p augmente, les grandes valeurs pèsent davantage, tandis qu’un ordre négatif favorise les petites. On emploie l’ordre adapté au problème, puis on conserve le même ordre pour comparer les résultats.

Otto Hölder et les objets qui portent son nom. Otto Hölder est la personne ; une inégalité, une moyenne ou une condition de Hölder est un objet mathématique. Une date ou un lieu appelle la biographie, tandis qu’un exposant ou une borne appelle l’outil correspondant.

Inégalité de Hölder et condition de Hölder. L’inégalité borne une somme ou une intégrale de produits à l’aide d’exposants conjugués. La condition compare deux valeurs d’une même fonction à la distance entre leurs entrées. Deux familles multipliées sont souvent un indice de l’inégalité ; un écart f(x) − f(y), un indice de la condition. Ces indices contextuels ne suffisent toutefois pas toujours à trancher entre leurs formes générales.

Inégalité de Hölder et Cauchy-Schwarz. Cauchy-Schwarz est le cas p = q = 2 de Hölder. Si deux autres exposants conjugués apparaissent, il faut employer la forme générale de Hölder plutôt que nommer ce cas particulier.

Les exposants ne sont pas libres. Dans la forme classique utilisée ici, p et q doivent être strictement supérieurs à 1 et vérifier 1/p + 1/q = 1. Si cette relation échoue, le calcul de l’exemple ne justifie plus la même borne.

Le cas charnière α = 1 change de nom courant. Une condition de Hölder d’exposant 1 est une condition de Lipschitz. Pour 0 < α < 1, elle exprime un contrôle plus faible. Il faut toujours annoncer l’exposant et la constante, plutôt que dire seulement qu’une fonction est « régulière ».

La moyenne géométrique demande un passage à la limite. Dans la famille des moyennes de Hölder, l’ordre p = 0 ne se lit pas par substitution directe dans la formule comportant 1/p. On utilise l’extension par continuité mentionnée dans la définition source.

« Théorème de Hölder » est ambigu sans contexte. La source emploie ce nom pour le résultat sur la fonction gamma, tandis que Jordan-Hölder concerne les suites de composition des groupes. Il faut préciser l’objet étudié au lieu de s’appuyer sur le seul nom.

inégalité de Cauchy-Schwarz — Pour approfondir le cas p = q = 2 de l’inégalité de Hölder vérifié dans l’exemple.

fonction gamma — Pour identifier la fonction concernée par le théorème de Hölder sur les équations différentielles algébriques.