Sylow Ludwig

En 1873, dans les Mathematische Annalen, Peter Ludwig Mejdell Sylow publie en français un article sur les groupes de substitutions. Son idée aide à examiner un groupe fini morceau par morceau : pour chaque nombre premier qui divise sa taille, on cherche les sous-groupes portant toute la puissance de ce nombre premier.

Ces sous-groupes ne sont pas choisis au hasard. Les théorèmes de Sylow assurent qu’ils existent et imposent des contraintes sur leur nombre et leurs relations. Un groupe de six symétries, par exemple, contient trois sous-groupes maximaux de taille 2, mais un seul de taille 3.

Peter Ludwig Mejdell Sylow (1832–1918) est un mathématicien norvégien formé à l’université de Christiania, aujourd’hui Oslo. Une bourse lui permet, en 1861, d’étudier à Paris auprès de Chasles pour la géométrie des coniques, de Liouville pour la mécanique et de Duhamel pour la théorie des fonctions, puis à Berlin auprès de Kronecker. En 1862, il obtient un poste d’enseignant à Christiania et y donne des cours sur la théorie de Galois.

C’est durant cette période qu’il élabore les résultats portant son nom. La source situe leur publication en 1872, puis leur parution en 1873 dans l’article français Théorèmes sur les groupes de substitutions, au tome 5 des Mathematische Annalen. Ces théorèmes prolongent celui de Cauchy, qui garantit un élément d’ordre p lorsqu’un nombre premier p divise l’ordre d’un groupe fini.

Soit G un groupe fini. Si son ordre se décompose sous la forme $\mathrm{\mid }G\mathrm{\mid }=p^{a}m,p\nmid m|G|=p^a\; m,\backslash quad\; p\backslash nmid\; m$, où p est premier et a est le plus grand exposant possible, un sous-groupe de Sylow pour p a l’ordre p^a. Les théorèmes assurent son existence, affirment que tous ces sous-groupes sont conjugués et contraignent leur nombre n_p : $n_p\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\text{et}{n}_p\mid mn\_p\backslash equiv\; 1\backslash pmod\; p\backslash quad\backslash text\{et\}\backslash quad\; n\_p\backslash mid\; m$. De 1873 à 1881, Sylow collabore avec Sophus Lie, son ancien étudiant, à l’édition des œuvres complètes d’Abel. Il devient rédacteur en chef d’Acta Mathematica en 1894.

Considérons le groupe symétrique S₃, formé par les six permutations de trois objets. Les données sont son ordre 6, sa décomposition 6 = 2 × 3 et les deux nombres premiers concernés, 2 et 3. On cherche les sous-groupes de Sylow correspondants.

1. Pour p = 2, la plus grande puissance de 2 divisant 6 est 2. Un sous-groupe de Sylow pour 2 doit donc avoir l’ordre 2.
2. Chacune des trois transpositions engendre un sous-groupe distinct d’ordre 2. Leur nombre vaut n₂ = 3.
3. Le contrôle donne 3 ≡ 1 modulo 2 et 3 divise 3 ; les trois sous-groupes sont conjugués.
4. Pour p = 3, la plus grande puissance de 3 divisant 6 est 3. Les deux cycles de longueur 3 engendrent ensemble le même sous-groupe d’ordre 3.
5. Son nombre vaut n₃ = 1. On vérifie que 1 ≡ 1 modulo 3 et que 1 divise 2.

Le résultat est donc asymétrique : S₃ possède trois sous-groupes de Sylow pour 2 et un seul pour 3. Ce dernier est alors normal dans S₃, car un sous-groupe de Sylow unique est invariant par conjugaison.

Pour analyser un groupe fini, on factorise d’abord son ordre. Les théorèmes de Sylow sont utiles lorsqu’on veut isoler la structure associée à un nombre premier ; le théorème de Cauchy suffit si l’on cherche seulement un élément d’ordre p.

Pour tester si un sous-groupe de Sylow est normal, on compte les candidats. Si les congruences et divisibilités imposent n_p = 1, l’unique sous-groupe est normal ; si plusieurs valeurs restent possibles, il faut employer d’autres informations sur le groupe.

Pour situer Sylow dans l’histoire, on distingue ses trois traces documentées : l’enseignement de la théorie de Galois à partir de 1862, les théorèmes publiés au début des années 1870 et le travail éditorial mené ensuite avec Sophus Lie puis pour Acta Mathematica.

Peter Ludwig Mejdell Sylow et un sous-groupe de Sylow. Le premier est le mathématicien norvégien ; le second est un objet algébrique d’ordre p^a dans un groupe fini. Une date biographique concerne la personne, tandis qu’un calcul d’ordre concerne le sous-groupe.

Théorème de Cauchy et théorèmes de Sylow. Cauchy garantit un élément, donc un sous-groupe, d’ordre p. Sylow atteint la plus grande puissance p^a divisant l’ordre du groupe et ajoute conjugaison et contraintes de comptage. Dans S₃, Cauchy assure une transposition ; Sylow explique les trois sous-groupes d’ordre 2.

Ajouter à tort une hypothèse d’abélianité. La source formule le théorème de Cauchy pour un groupe abélien, mais sa forme usuelle vaut pour tout groupe fini. Il ne faut donc pas présenter l’absence de commutativité comme ce qui sépare, à elle seule, Cauchy de Sylow.

Confondre existence et unicité. Les théorèmes garantissent au moins un sous-groupe de Sylow, pas toujours un seul. Dans S₃, n₂ = 3. Il faut appliquer simultanément la congruence et la divisibilité avant de conclure à l’unicité.

Employer un entier non premier. La décomposition et les contraintes portent sur un nombre premier p. Choisir 6 comme base dans un groupe d’ordre 6 ne définit pas un « 6-Sylow » ; il faut traiter séparément p = 2 et p = 3.

Fusionner les repères 1872 et 1873. La source associe 1872 à la publication des théorèmes, puis 1873 à leur article dans les Mathematische Annalen. Sans document supplémentaire, il faut conserver ces deux indications distinctes plutôt que d’inventer un seul événement daté.

P-sylow Pour approfondir l’objet algébrique central des théorèmes et son ordre maximal en puissance de p.

théorème de Cauchy Pour étudier le résultat d’existence que les théorèmes de Sylow prolongent.