AnalyseObjet mathématique · Glossaire
fonction hypergéométrique
Pour a, b et c réels, avec c différent de 0, −1, −2, …, la fonction hypergéométrique de Gauss est, lorsque |z| < 1, la somme d’une série dont le premier terme vaut 1 et dont le terme de rang k + 1 s’obtient en multipliant le précédent par (a + k)(b + k)z / ((c + k)(k + 1)). Elle fournit ainsi une même méthode de calcul pour de nombreuses fonctions rencontrées en analyse.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire le rôle des paramètres a, b et c et de la variable z.
- Calculer ₂F₁(1,1;2;1/2) et contrôler l’approximation.
- Repérer le disque de convergence, les paramètres singuliers et le choix de branche.
En clair
Prenez les nombres 1, 1, 2 et la valeur 1/2. Ils déterminent une suite de termes : 1, puis 1/4, puis 1/12, puis 1/32. Leur addition se rapproche rapidement de 1,38629.
La fonction hypergéométrique de Gauss organise ce procédé. Trois paramètres règlent la fabrication des coefficients, tandis qu’une variable règle le poids de chaque terme. En changeant ces paramètres, la même machine produit plusieurs fonctions classiques de l’analyse.
Définition
La fonction hypergéométrique de Gauss est une fonction définie près de zéro par une série entière. Les paramètres réels a et b occupent le numérateur des coefficients, le paramètre réel c leur dénominateur, et la variable z porte les puissances. Le symbole (q)k désigne le produit croissant q(q+1)…(q+k−1), avec (q)0 = 1.
Cette série converge pour |z| < 1. Dans sa forme ordinaire, le paramètre c ne peut être ni zéro ni un entier négatif, car un facteur du dénominateur s’annulerait. Si a ou b est un entier nul ou négatif, la série s’arrête et donne un polynôme, sous réserve que ses dénominateurs restent définis.
Le prolongement analytique étend ensuite cette fonction au-delà du disque unité, avec une coupure conventionnelle de 1 à +∞ pour fixer une branche. En notant x la variable, la fonction obtenue satisfait l’équation de Gauss :
Les polynômes de Legendre, les fonctions de Jacobi et les intégrales elliptiques complètes apparaissent pour certains choix de paramètres.
De quoi c'est fait
Quatre données font fonctionner ₂F₁. Les deux paramètres a et b jouent des rôles symétriques. Le paramètre c contrôle le dénominateur et doit éviter les valeurs qui l’annulent. La variable z détermine le poids zk du terme de rang k. Enfin, la factorielle k! compense la croissance des produits successifs.
Si le terme de rang k est noté uk, tant que uk n’est pas nul, le suivant dépend de tous ces éléments par . Ce rapport suffit à construire la série terme après terme jusqu’à son éventuelle terminaison. Il explique aussi sa nature hypergéométrique : lorsqu’il est défini, le rapport de deux termes consécutifs est une fraction rationnelle du rang, multipliée par z.
Un exemple, pas à pas
On veut calculer ₂F₁ pour les données suivantes :
paramètres : a = 1, b = 1 et c = 2 ;
variable : z = 1/2 ;
arrondi visé : cinq décimales.
paramètres : a = 1, b = 1 et c = 2 ;
variable : z = 1/2 ;
arrondi visé : cinq décimales.
1. Pour ces paramètres, le coefficient de zk se simplifie en 1/(k+1). La série devient
2. À z = 1/2, les cinq premiers termes sont 1, 1/4, 1/12, 1/32 et 1/80. Leur somme exacte vaut 661/480, soit environ 1,37708.
3. Les sommes partielles se rapprochent de la somme complète sans la dépasser. Pour z non nul, l’identité obtenue en intégrant la série géométrique donne . À z = 1/2, le résultat exact est 2 ln 2, soit environ 1,38629.
4. Pour contrôler l’arrondi, on poursuit la somme jusqu’à k = 14 : elle vaut environ 1,38629075. La somme des termes suivants est inférieure à 1/(16 × 214), soit environ 0,00000382. La valeur exacte est donc comprise entre 1,38629075 et 1,38629457, ce qui garantit l’arrondi 1,38629 à cinq décimales.
En pratique
Pour calculer une valeur avec |z| < 1, on additionne les termes jusqu’à ce que les suivants soient plus petits que la précision recherchée. Près de |z| = 1, cette addition peut devenir lente ; une transformation ou un prolongement analytique est alors préférable.
Pour résoudre l’équation différentielle de Gauss près de x = 0, ₂F₁ fournit la solution normalisée qui vaut 1 en zéro. Si les paramètres rendent l’équation singulière, il faut choisir une solution locale adaptée. Si l’on franchit la coupure, il faut préciser la continuation analytique et la branche choisies.
Quand un paramètre supérieur est un entier nul ou négatif, on reconnaît une somme finie. Le calcul polynomial est alors plus direct que l’addition d’une série infinie. D’autres choix précis de paramètres ramènent le problème à des polynômes de Legendre, des fonctions de Jacobi ou des intégrales elliptiques complètes.
À ne pas confondre
La loi hypergéométrique. Elle décrit un tirage sans remise et produit des probabilités discrètes. La fonction hypergéométrique de Gauss, elle, associe une valeur à z par une série. La présence d’une population, d’un échantillon et d’un nombre de succès désigne la loi.
La série géométrique. Ses termes ont un rapport constant. Dans une série hypergéométrique, le rapport entre deux termes consécutifs dépend généralement du rang k par une fraction rationnelle. Pour l’exemple a = b = 1 et c = 2, ce rapport vaut , donc il n’est pas constant.
Limites et pièges
Au bord du disque. La série définit directement ₂F₁ pour |z| < 1. À z = 1, hors série terminée, elle converge si c − a − b > 0 ; lorsque cette différence est nulle ou négative, additionner les termes ne fournit pas une valeur finie. Il faut alors employer un prolongement adapté.
Paramètre inférieur singulier. Si c vaut 0, −1, −2, etc., un facteur (c)k finit par s’annuler. La série ordinaire n’est plus définie. Une éventuelle valeur limite demande un traitement séparé ; elle ne doit pas être obtenue en divisant formellement par zéro.
Série qui s’arrête. Si a ou b est un entier nul ou négatif, un coefficient supérieur devient nul et tous les termes suivants disparaissent. On obtient un polynôme, à condition qu’aucun dénominateur antérieur ne soit nul. Ce cas fini ne doit pas être traité comme une convergence infinie.
Choix de branche. Hors du disque unité, le prolongement analytique n’est pas une simple addition de la série initiale. La coupure de 1 à +∞ fixe une branche usuelle. Pour un point situé sur cette coupure, il faut préciser l’approche choisie, car les valeurs limites complexes peuvent différer.
Pour aller plus loin
La série entière éclaire le rayon de convergence et l’addition terme à terme. La fonction gamma relie les produits croissants à la notation de la définition historique. La fonction elliptique situe une famille classique dont certaines intégrales complètes s’écrivent avec ₂F₁. Enfin, la loi hypergéométrique permet d’approfondir la distinction entre une fonction spéciale et un modèle de tirage.
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