fonction polylogarithme

Prenons un nombre entre 0 et 1, par exemple 1/2. Ses puissances deviennent vite minuscules : 1/2, 1/4, 1/8… Le polylogarithme additionne ces puissances après avoir encore pondé la k-ième par une puissance de son rang k.

Un paramètre, noté s, règle cette pondération. Avec s = 1, la somme rejoint un logarithme ; avec s = 2, elle porte le nom de dilogarithme. Une même famille relie ainsi des sommes, des logarithmes et d’autres fonctions.

La fonction polylogarithme associe un nombre à deux paramètres complexes. Le premier, noté z, est l’argument de la fonction. Le second, noté s, est l’exposant qui pondère les termes. L’indice entier positif k numérote ces termes. Lorsque le module de z est strictement inférieur à 1, la définition par série est :

Cette formule peut être prolongée analytiquement au-delà du disque unité dans de nombreuses situations. Pour s = 1, elle donne Li₁(z) = −ln(1 − z). Pour s = 2, elle donne le dilogarithme Li₂. Si s est un entier négatif, le résultat est une fraction rationnelle. Sur l’intervalle réel ]−1, 1], le dilogarithme admet aussi l’écriture ${\mathrm{Li}}_2(x)=-{\int }_0^x\frac{\ln (1-t)}{t}dt\backslash operatorname\{Li\}\_2(x)=-\backslash int\_0^x\backslash frac\{\backslash ln(1-t)\}\{t\}\backslash ,dt$.

La construction repose sur quatre éléments. L’argument complexe z fournit les puissances zᵏ. L’exposant complexe s fixe le poids 1/kˢ. L’indice entier k, qui part de 1, associe chaque puissance à son poids. Enfin, le symbole de somme rassemble une infinité de termes.

Le rang k agit donc à la fois sur la puissance de z et sur le dénominateur. Modifier z change la taille et la direction complexes des termes ; modifier s change leur pondération. Ces données suffisent à calculer des sommes partielles dans le disque |z| < 1. Le prolongement analytique étend ensuite la fonction, mais il ne modifie pas les quatre ingrédients de sa série d’origine.

Calculons une approximation de Li₂(1/2). Les données sont s = 2, z = 1/2 et les quatre premiers rangs k = 1, 2, 3, 4. Le diagramme des sommes partielles rend visible la contribution décroissante des termes et la marge restante.

1. Les quatre termes sont $\frac{1}{2},\frac{(1\mathrm{/}2{)}^2}{2^2}=\frac{1}{16},\frac{(1\mathrm{/}2{)}^3}{3^2}=\frac{1}{72},\frac{(1\mathrm{/}2{)}^4}{4^2}=\frac{1}{256}\backslash frac12,\backslash quad\; \backslash frac\{(1/2)^2\}\{2^2\}=\backslash frac1\{16\},\backslash quad\; \backslash frac\{(1/2)^3\}\{3^2\}=\backslash frac1\{72\},\backslash quad\; \backslash frac\{(1/2)^4\}\{4^2\}=\backslash frac1\{256\}$.

2. Leur somme exacte vaut $S_4=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}+\frac{1}{72}+\frac{1}{256}=\frac{1337}{2304}S\_4=\backslash frac12+\backslash frac1\{16\}+\backslash frac1\{72\}+\backslash frac1\{256\}=\backslash frac\{1337\}\{2304\}$, soit environ 0,580295.

3. Pour chaque rang k au moins égal à 5, le facteur 1/k² ne dépasse pas 1/25. Le reste positif est donc majoré par $\frac{1}{25}{\sum }_{k=5}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2}\right)}^k=\frac{1}{400}=\mathrm{0,0025}\backslash frac1\{25\}\backslash sum\_\{k=5\}^\{\backslash infty\}\backslash left(\backslash frac12\backslash right)^k=\backslash frac1\{400\}=0\{,\}0025$.

4. Le contrôle final donne . Ainsi, S₄ ≈ 0,580295 approche Li₂(1/2) avec une erreur strictement inférieure à 0,0025. L’affichage plus grossier Li₂(1/2) ≈ 0,580 a, d’après ce contrôle, une erreur strictement inférieure à 0,002796.

Pour calculer une série numérique dans le disque |z| < 1, on additionne des termes jusqu’à obtenir la précision souhaitée. Une majoration du reste, comme dans l’exemple, indique quand s’arrêter.

Quand s = 1, l’écriture −ln(1 − z) remplace avantageusement la somme infinie. Quand s est un entier négatif, une fraction rationnelle offre de même une forme directe.

En physique statistique, en théorie des nombres ou en géométrie hyperbolique, le polylogarithme sert à reconnaître sous un même nom des expressions issues de contextes différents. Le choix entre la série et un prolongement dépend d’abord de la position de z par rapport au disque unité.

Le polylogarithme et le logarithme. Ils coïncident seulement dans le cas s = 1, où Li₁(z) = −ln(1 − z). Si l’exposant vaut 2, la fonction obtenue est le dilogarithme, pas un logarithme ordinaire.

Le polylogarithme et une série entière quelconque. Une série entière peut avoir des coefficients arbitraires. Ici, le coefficient de zᵏ est imposé : il vaut 1/kˢ. Ce test sur les coefficients tranche immédiatement.

Le bord du disque. La série donnée définit directement Liₛ(z) pour |z| < 1. Si |z| atteint ou dépasse 1, il ne faut pas appliquer automatiquement cette somme : on doit examiner sa convergence ou employer un prolongement analytique approprié.

Les valeurs particulières de s. Le paramètre ne change pas seulement la vitesse de convergence. À s = 1 apparaît −ln(1 − z), à s = 2 le dilogarithme, et aux entiers négatifs une fraction rationnelle. Il faut donc identifier s avant de choisir une forme de calcul.

L’intégrale du dilogarithme en zéro. Dans l’intégrande, le quotient ln(1 − t)/t semble indéfini pour t = 0. Sa limite vaut −1 ; la singularité est donc supprimable et l’intégrale reste bien lisible sur ]−1, 1].

Deux prolongements replacent le polylogarithme dans les paysages mathématiques cités par sa définition.

série entière — Approfondir la famille de séries dont la formule de Liₛ(z) constitue un cas aux coefficients imposés.

Les géodésiques de Mirzakhani — Situer la géométrie hyperbolique, l’un des domaines où apparaissent les polylogarithmes.