AnalyseNotion · Glossaire
somme télescopique
En analyse, une somme télescopique est une somme dont les termes consécutifs se compensent de proche en proche, de sorte que la plupart s'annulent par paires. La forme typique est : (a₁ − a₀) + (a₂ − a₁) + ⋯ + (aₙ − aₙ₋₁) = aₙ − a₀. Seuls le premier et le dernier terme subsistent après simplification. En termes de séries, si (aₙ) est une suite numérique, la série télescopique associée a pour terme général (aₙ₊₁ − aₙ). La convergence de la série ∑(aₙ₊₁ − aₙ) est alors équivalente à la convergence de la suite (aₙ) elle-même, et l'on a : ∑ₙ₌₀^∞ (aₙ₊₁ − aₙ) = limₙ→∞ aₙ − a₀. Les sommes télescopiques sont notamment utilisées pour calculer la somme des termes d'une suite géométrique ou pour déterminer la valeur de certaines séries dont on sait décomposer le terme général en différence de termes consécutifs.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître les paires de termes qui s'annulent et identifier les termes extrêmes.
- Calculer pas à pas la somme de 1/[k(k + 1)] pour k allant de 1 à 5.
- Contrôler le résultat 5/6 par une addition directe.
- Relier la convergence de la série de différences à la limite finie de la suite.
- Éviter les erreurs de bornes, de pas d'indice et d'annulation seulement partielle.
En clair
Écrivez plusieurs différences à la suite : 1 − 1/2, puis 1/2 − 1/3, puis 1/3 − 1/4. Le −1/2 efface le +1/2, puis le −1/3 efface le +1/3. Il ne reste que 1 − 1/4.
Cette disparition en chaîne donne son nom à la somme télescopique : comme un télescope replié, une longue expression se raccourcit. Les termes du milieu s'annulent, mais les deux termes aux extrémités demandent toute l'attention.
Définition
Une somme est télescopique lorsque son terme général peut s'écrire comme la différence de deux termes consécutifs d'une même suite. Si ak désigne le terme d'indice k, la somme allant de k = 0 à k = n − 1 vérifie : . Chaque terme intérieur apparaît une fois avec le signe plus et une fois avec le signe moins.
Le même mécanisme s'applique à une série infinie. La somme partielle arrêtée à l'indice N vaut aN+1 − a0. La série de terme an+1 − an converge donc si et seulement si la suite des nombres an possède une limite finie. Si cette limite est L, alors : .
La forme télescopique n'est pas toujours visible au départ. La décomposition 1/[k(k + 1)] = 1/k − 1/(k + 1), valable pour tout entier k ≥ 1, peut par exemple la révéler. Pour une suite géométrique de raison q différente de 1, l'identité qk = (qk − qk+1)/(1 − q) produit aussi une différence de termes consécutifs.
Un exemple, pas à pas
Calculons la somme des cinq termes 1/[k(k + 1)], pour les entiers k allant de 1 à 5. Les données sont donc n = 5, un premier indice égal à 1 et la décomposition 1/[k(k + 1)] = 1/k − 1/(k + 1).
1. Remplaçons chaque terme par sa différence : .
2. Développons les cinq différences : . La figure matérialise exactement cette chaîne d'annulations.
3. Les fractions 1/2, 1/3, 1/4 et 1/5 disparaissent chacune avec leur opposée. Les extrémités donnent 1 − 1/6 = 5/6.
4. Contrôlons sans télescopage : 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 = (30 + 10 + 5 + 3 + 2)/60 = 50/60 = 5/6. Les deux calculs coïncident.
En pratique
Pour additionner des fractions rationnelles indexées par k, cherchez d'abord une différence telle que bk − bk+1. Si aucune décomposition ne fait apparaître des termes consécutifs opposés, une mise au même dénominateur ou une autre méthode est préférable.
Pour une somme géométrique, multipliez qk par 1 − q lorsque q ≠ 1 : le numérateur devient qk − qk+1. Si q = 1, cette transformation divise par zéro ; la somme contient simplement autant de termes égaux à 1 que d'indices.
Pour étudier une série déjà écrite an+1 − an, calculez la somme partielle puis examinez la limite de an. Cette voie remplace utilement un test général de convergence, car l'égalité exacte des sommes partielles donne directement le verdict et la somme éventuelle.
À ne pas confondre
Somme télescopique et série géométrique. Les termes d'une série géométrique vérifient un+1 = q un pour tout indice n de leur domaine ; une somme télescopique présente des termes intermédiaires opposés après développement. Ainsi, 1 + 1/2 + 1/4 est géométrique, mais ne se télescope qu'après une réécriture adaptée.
Annulation et convergence absolue. Le télescopage porte sur les signes dans les sommes partielles ; il ne signifie pas que la série des valeurs absolues converge. Pour an = (−1)n/n lorsque n ≥ 1, la série des différences an+1 − an converge par télescopage, tandis que la série de leurs valeurs absolues diverge.
Limites et pièges
Bornes décalées. Pour une somme de k = p à k = q de ak+1 − ak, les survivants sont aq+1 − ap. Un résultat en aq signale généralement une erreur d'indice ; développez les deux premiers et les deux derniers termes.
Série infinie. L'annulation des termes intérieurs ne suffit pas à produire une somme finie. Si an n'a pas de limite finie, les sommes partielles aN+1 − a0 ne convergent pas. Par exemple, avec an = n, chaque différence vaut 1 et les sommes partielles grandissent sans borne.
Annulation seulement partielle. Une expression peut laisser plusieurs familles de termes aux bords. Avec une différence ak+2 − ak, deux chaînes se télescopent et quatre termes extrêmes subsistent. Il faut développer assez de termes pour repérer le pas réel, au lieu d'appliquer mécaniquement la formule à des indices consécutifs.
Pour aller plus loin
suite géométrique — Voir comment une progression à quotient constant se réécrit en différence pour retrouver sa somme finie.
convergence d'une série numérique — Replacer la limite des sommes partielles télescopiques dans le cadre général de la convergence des séries.
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