Base télescopique

Écrivons cinq différences à la suite : chacune enlève une fraction que la suivante remet. Ainsi, −1/2 disparaît avec +1/2, puis −1/3 avec +1/3, et ainsi de suite. Seuls le premier terme et le dernier terme ne trouvent pas de partenaire.

La somme se replie alors comme un télescope : son long développement se réduit à ses deux extrémités. Le même geste fonctionne dans un produit lorsque des facteurs identiques se simplifient au numérateur et au dénominateur.

Une somme finie est télescopique lorsque son terme d'indice k s'écrit comme la différence de deux termes consécutifs d'une même suite. Si f désigne cette suite, n un entier positif et k les entiers de 1 à n, les termes indexés f(2) à f(n) apparaissent chacun une fois avec le signe plus et une fois avec le signe moins.

L'ordre de la différence fixe le signe du résultat : avec $f(k)-f(k+1)f(k)-f(k+1)$, les deux termes de bord sont inversés. Il faut parfois transformer d'abord le terme général, notamment en décomposant une fraction. Pour un produit télescopique, si g désigne une suite, une écriture en quotients successifs donne ${\prod }_{k=1}^{n}g(k+1)\mathrm{/}g(k)=g(n+1)\mathrm{/}g(1)\backslash prod\_\{k=1\}^\{n\}\; g(k+1)/g(k)=g(n+1)/g(1)$, à condition que tous les dénominateurs concernés soient non nuls.

Calculons la somme de cinq fractions dont le terme d'indice k vaut $1\mathrm{/}(k(k+1))1/\backslash bigl(k(k+1)\backslash bigr)$. Les données sont les indices entiers de 1 à 5 et les cinq dénominateurs 2, 6, 12, 20 et 30.

1. Pour chaque indice k, décomposons la fraction en une différence : $1\mathrm{/}(k(k+1))=1\mathrm{/}k-1\mathrm{/}(k+1)1/\backslash bigl(k(k+1)\backslash bigr)=1/k-1/(k+1)$.

2. Développons les cinq termes :

3. Les fractions 1/2, 1/3, 1/4 et 1/5 apparaissent chacune avec deux signes opposés. Elles s'annulent exactement.

4. Il reste les deux extrémités : $1-1\mathrm{/}6=5\mathrm{/}61-1/6=5/6$. La somme vaut donc exactement 5/6, sans unité.

Un contrôle direct donne $1\mathrm{/}2+1\mathrm{/}6+1\mathrm{/}12+1\mathrm{/}20+1\mathrm{/}30=50\mathrm{/}60=5\mathrm{/}61/2+1/6+1/12+1/20+1/30=50/60=5/6$. Le calcul fraction par fraction confirme le résultat obtenu par annulation.

Pour additionner des fractions dépendant d'un indice, on cherche une décomposition en différences successives. Dans l'exemple, $1\mathrm{/}(k(k+1))=1\mathrm{/}k-1\mathrm{/}(k+1)1/\backslash bigl(k(k+1)\backslash bigr)=1/k-1/(k+1)$ fait apparaître l'annulation ; si aucune telle décomposition n'apparaît, un dénominateur commun ou une autre identité est préférable.

Pour cumuler des variations successives, on additionne chaque nouvelle valeur moins la précédente. Le total donne directement la valeur finale moins la valeur initiale. Si les termes ne partagent pas ces valeurs intermédiaires, il faut les additionner séparément.

Pour certains produits de quotients, on factorise avant de multiplier. Des facteurs identiques placés au numérateur puis au dénominateur se simplifient. Dès qu'un dénominateur peut être nul, cette méthode ne s'applique pas telle quelle et le domaine doit être examiné d'abord.

Somme géométrique. Ses termes se déduisent par multiplication par un même rapport ; ils ne s'annulent pas deux à deux. Par exemple, 1 + 1/2 + 1/4 est géométrique, tandis que les différences successives de l'exemple sont télescopiques.

Simplification à l'intérieur d'une fraction. Réduire 6/9 en 2/3 agit sur un seul quotient. Dans un produit télescopique, la simplification relie au contraire des facteurs appartenant à plusieurs quotients successifs.

La forme doit être établie. Des termes proches ne s'annulent pas simplement parce qu'ils se ressemblent. Il faut obtenir deux valeurs exactement opposées ; sinon, le reliquat doit rester dans le calcul.

Le sens de la différence compte. Remplacer $f(k+1)-f(k)f(k+1)-f(k)$ par $f(k)-f(k+1)f(k)-f(k+1)$ change le signe. Il faut développer les premiers termes et vérifier quelles extrémités subsistent.

Une somme infinie demande une limite. L'annulation donne d'abord une somme partielle jusqu'à l'indice n. On ne peut passer à une série infinie que si le terme de bord possède la limite nécessaire lorsque n tend vers l'infini.

Un dénominateur nul bloque le produit. La formule du produit télescopique exige que chaque terme placé au dénominateur soit non nul. Il faut donc déterminer le domaine avant toute simplification, y compris lorsque le produit ne comporte qu'un facteur.

La fiche somme télescopique prolonge l'étude sous l'intitulé mathématique précis et aide à reconnaître cette structure dans d'autres écritures.