série de Hardy

Prenons un nombre complexe z et multiplions-le successivement par lui-même. Chaque puissance obtenue est divisée par un nombre qui dépend d'un pas k et d'un réel irrationnel y. En additionnant les quotients jusqu'au pas choisi, on forme une somme partielle de Hardy.

Les dénominateurs changent de signe et peuvent devenir très petits : les termes peuvent donc se renforcer ou se compenser. L'irrationalité empêche leur annulation pour tout pas entier non nul. Le pas zéro doit cependant être exclu, car il donnerait sin(0) = 0.

Une série de Hardy associe à un nombre complexe z des sommes dont les coefficients dépendent d'un réel irrationnel y. Pour un entier positif n, l'indice entier k parcourt les termes de 1 à n. Une écriture bien définie de la somme partielle est :

Le numérateur z^k est la puissance de z au rang k. Le dénominateur est le sinus de πky. Comme y est irrationnel, ky n'est jamais entier lorsque k est un entier non nul ; sin(πky) ne s'annule donc pas à ces rangs. La formule source commence à k = 0, mais ce terme aurait pour dénominateur sin(0) = 0 : prise littéralement, elle ne définit aucune somme. Il faut commencer à k = 1, ou préciser séparément une autre convention. Les valeurs S_n(z) sont des sommes partielles. Parler d'une série infinie et de sa valeur demande en plus d'étudier leur convergence quand n augmente.

La construction repose sur cinq éléments. Le réel irrationnel y règle les dénominateurs. Le nombre complexe z fournit les puissances du numérateur. L'entier positif n fixe le dernier rang de la somme. L'indice entier k relie ces deux données dans chaque quotient : il détermine à la fois z^k et sin(πky). Enfin, l'addition réunit les quotients des rangs 1 à n dans S_n(z).

Changer z modifie la taille et l'argument des numérateurs, tandis que changer y déplace les valeurs des sinus. Le couple formé par y et z, accompagné du rang n, suffit donc à calculer une somme partielle. La couleur ou le tracé d'une représentation éventuelle ne fait pas partie de la définition.

Choisissons le réel irrationnel y = √2, le nombre complexe réel z = 1/2 et le dernier rang n = 3. Nous commençons à k = 1 afin d'éviter le dénominateur nul du rang zéro.

1. Au rang 1, sin(π√2) ≈ −0,963903. Le premier quotient vaut donc (1/2) / sin(π√2) ≈ −0,518725.

2. Au rang 2, sin(2π√2) ≈ 0,513288. Le deuxième quotient vaut (1/2)² / sin(2π√2) ≈ 0,487056. La somme cumulée vaut alors environ −0,031669.

3. Au rang 3, sin(3π√2) ≈ 0,690571. Le troisième quotient vaut (1/2)³ / sin(3π√2) ≈ 0,181010.

En additionnant les trois quotients, on obtient S₃(1/2) ≈ 0,149341. Un contrôle refaisable consiste à additionner −0,518725, 0,487056 et 0,181010 : l'arrondi final vaut 0,149341. Les sommes cumulées montrent aussi la compensation entre un premier terme négatif et les deux suivants, positifs.

Pour calculer une approximation finie, on choisit y, z et un rang n, puis on évalue chaque quotient avant de les additionner. Si l'objectif porte sur une valeur à un rang donné, cette somme partielle est l'objet adapté.

Pour étudier une éventuelle série infinie en analyse complexe, une seule somme ne suffit pas. On compare plutôt S_n(z) pour des rangs n croissants et l'on surveille les dénominateurs très proches de zéro, capables d'amplifier certains termes.

Dans un problème lié aux rotations irrationnelles ou à la théorie des nombres, le paramètre y est la donnée structurante. Si y est rationnel, cette construction n'est plus la bonne telle quelle, car certains sinus s'annulent exactement.

Une série de fonctions quelconque. Une série de Hardy est un cas structuré : le coefficient du rang k contient précisément 1 / sin(πky), avec y irrationnel. Une somme de fonctions dont les coefficients n'ont pas cette forme reste une série de fonctions, mais pas cette série de Hardy.

Une rotation irrationnelle. La rotation décrit le déplacement associé à un pas irrationnel ; la série additionne, elle, des quotients complexes dépendant de ces pas. La présence de y irrationnel relie les deux objets sans les rendre identiques.

Le rang zéro. Dans la formule source, k = 0 produit sin(0) = 0. Le quotient n'est pas défini, quelle que soit l'irrationalité de y. Il faut faire commencer la somme à k = 1 ou fournir explicitement une convention différente.

Un paramètre rationnel. Si y = p/q avec p entier et q entier positif, le rang k = q donne ky = p, donc sin(πky) = sin(πp) = 0. Le quotient correspondant est alors impossible.

Irrationnel ne signifie pas éloigné de zéro. Pour un y irrationnel, aucun dénominateur de rang non nul ne vaut exactement zéro. Certains peuvent néanmoins en être très proches, ce qui peut amplifier le quotient correspondant. Il faut alors contrôler la taille de ces petits dénominateurs, pas seulement leur non-nullité.

Somme partielle ou série convergente. Le calcul de S_n(z) pour un n fixé donne toujours une somme finie lorsque les dénominateurs existent. Il ne prouve pas que les sommes possèdent une limite quand n tend vers l'infini ; cette convergence doit être étudiée séparément.

La fiche série de fonctions replace les sommes de Hardy dans la famille plus générale des additions de fonctions.

La fiche analyse complexe présente le cadre où la variable z prend ses valeurs.

L'article Aux origines de l’analyse complexe apporte un recul historique sur ce domaine d'étude.